複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成。
虛數單位
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為何需要虛數單位
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- 解方程:
從以上一元二次方程的判別式 中,我們發現36-74=-38小於0,可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答 或 ,其中 是常數,其值為 ,稱為虛數單位。
如上題:判別式= , ,
可記做: ,
在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。
-
-
- ,其中
-
切記以下的計法不正確:
- 。
只能應用於 時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:
-
-
-
-
-
-
-
-
- ...
1.若 是整數,試計算以下的值:
-
-
-
-
2.设 是虚数单位,若集合 则:
A
B
C
複數的表示:實部、虛部、軛、模
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我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说数轴可以看成实数的一个几何模型.那么能否为复数找一个几何模型呢?
有序数对
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根据复数相等的定义复数 被它的实部和虚部玩意确定,即复数 被 有序实数对 唯一确定;另一方面,有序实数对 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 .因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.
歐拉公式
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等式 称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。
當x為π時,
这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:e,i,π,1,0,连起来.
冪、對數的計算
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棣美弗公式
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幾何上的應用
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复数的向量为z=根号(a^2+b^2)
凡·奧貝爾定理的證明
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高斯整數、艾森斯坦整數
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練習解答
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