複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成。
虛數單位
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為何需要虛數單位
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- 解方程:
從以上一元二次方程的判別式 中,我們發現36-74=-38小於0,可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答 或 ,其中 是常數,其值為 ,稱為虛數單位。
如上題:判別式= , ,
可記做: ,
在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。
-
-
- ,其中
-
切記以下的計法不正確:
- 。
只能應用於 時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:
-
-
-
-
-
-
-
-
- ...
1.若 是整數,試計算以下的值:
-
-
-
-
2.設 是虛數單位,若集合 則:
A
B
C
複數的表示:實部、虛部、軛、模
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我們知道,實數與數軸上的點一一對應,也就是說數軸可以看成實數的一個幾何模型.那麼能否為複數找一個幾何模型呢?
有序數對
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根據複數相等的定義複數 被它的實部和虛部玩意確定,即複數 被 有序實數對 唯一確定;另一方面,有序實數對 在平面直角坐標系中對應着唯一的點 .因此不難發現,可以在複數集與平面直角坐標系的點集之間建立一一對應關係.
建立了直角坐標系來表示複數的平面也稱為複平面.
歐拉公式
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等式 稱為複數的歐拉公式(Euler's complex number formula)。
當x為π時,
這是一道被譽為美妙無比的式子,因等式將數學內五個極重要的數:e,i,π,1,0,連起來.
冪、對數的計算
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棣美弗公式
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幾何上的應用
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複數的向量為z=根號(a^2+b^2)
凡·奧貝爾定理的證明
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高斯整數、艾森斯坦整數
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練習解答
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