複數

複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位$i$所組成。所有的複數都可表達成$a+bi$。

虛數單位

為何需要虛數單位

• 解方程：${\frac {1}{2}}x^{2}-6x+37=0$

從以上一元二次方程的判別式$b^{2}-4ac=36-4({\frac {1}{2}})(37)=36-74=-38$中，我們發現36－74＝－38小於0，可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答$x=i$或$-i$，其中$i$是常數，其值為${\sqrt {-1}}$，稱為虛數單位。

如上題：判別式=$36-74=-38$，$x={\frac {6+{\sqrt {-38}}}{1}}$, ${\frac {6-{\sqrt {-38}}}{1}}$

可記做：$x=6+{\sqrt {38}}i$, $6-{\sqrt {38}}i$

在古代，數學的應用大多用不著複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

運算

${\sqrt {-9}}=3i$

${\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i$

${\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i$，其中$x\geq 0$

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}$

切記以下的計法不正確：

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}$。

${\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$只能應用於$x,y\geq 0$時，因為負數的開方是不連續的。

$i$ 的高次方會不斷作以下的循環：

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$i^{7}=-i\,$

...

練習

1.若$n$是整數，試計算以下的值：

1. $i^{4n}$
2. $i^{4n+1}$

1. $i^{4n+2}$
2. $i^{4n+3}$

2.設${\textstyle i}$是虛數單位,若集合$S\in \{-1,0,1\}$則:

A $i\in S$

B $i^{2}\in S$

C $i^{3}\in S$

複數的表示：實部、虛部、軛、模

所有複數都可以表示成$a+bi$，其中$a,b$是實數。$a$稱為實部，而$b$稱為虛部。例如$3+4i$的實部就是$3$，虛部是$4$。

一個複數$a+bi$的軛（Conjugates）是$a-bi$，$3+4i$的軛就是$3-4i$。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如$x^{2}-6x+25=0$的根就是$3+4i$和$3-4i$。

複數$z$的軛寫作${\bar {z}}$。複數和其軛相乘，即$z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}$，是一個實數。將複數和軛相加，$z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a$，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減，$z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi$，會得到其虛部的兩倍。 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$稱為$a+bi$的模或絕對值。

運算

相等

兩個複數$z_{1}$和$z_{2}$,如果實部與虛部都對應相等,我們說這兩個複數相等,記作 $z_{1}=z_{2}$

四則運算

在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

• 加、減法：實部加實部，虛部加虛部：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• 乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• 除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分：${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

例１：${\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}$ $={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}$

例２：求$36+74i^{2}-({\sqrt {74}}i^{2})^{2}$之值。 $i^{2}=-1$，$i^{4}=1$ $36+74i^{2}-74i^{4}=36-74-74=-112$

例３：求$6\times {\frac {i^{36}}{i^{11}}}\div {\frac {1}{6}}-({\frac {1}{5}}\times 36i-{\frac {1}{5}}\times 11i)$　之值。

原式= $6\times i^{36-11}\times 6-({\frac {1}{5}}\times (36-11)i)$

$i^{36-11=25}=i$

原式$=36i-({\frac {1}{5}}\times 25i)$

＝(36—5)i ＝ 31i

開方

要找一個複數的開$n$次冪，可以先求$(a+bi)^{n}$的展開式，再對應欲開$n$次冪的複數的虛部和實數求解。

例：$x^{2}=i$，求$x$。

$(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i$

$i=0+1i$

$a^{2}-b^{2}=0;2ab=1$

解方程得$a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$或$a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$，因此，$x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$或$x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

冪、對數

參見#冪、對數的計算。

複平面

我們知道，實數與數軸上的點一一對應，也就是說數軸可以看成實數的一個幾何模型.那麼能否為複數找一個幾何模型呢?

有序數對

根據複數相等的定義複數$z=a+bi\ (a,b\in R)$被它的實部和虛部玩意確定,即複數$z$被 有序實數對$(a,b)$唯一確定;另一方面,有序實數對$(a,b)$在平面直角坐標系中對應著唯一的點$Z(a,b)$.因此不難發現,可以在複數集與平面直角坐標系的點集之間建立一一對應關係.

建立了直角坐標系來表示複數的平面也稱為複平面.

歐拉公式

等式$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$稱為複數的歐拉公式（Euler's complex number formula）。 當x為π時, $e^{i\pi }+1=0$ 這是一道被譽為美妙無比的式子，因等式將數學內五個極重要的數：ｅ，ｉ，π，１，０，連起來.

幾何上的應用

向量

複數的向量為z=根號(a^2+b^2)

高斯整數、艾森斯坦整數

練習解答

練習一

1.

1. 1
2. i
3. -1
4. -i

維基百科中的相關條目：

複數 (數學)

2.B