复数(Complex number),是一种“复合的数”,由实数和虚数单位所组成。所有的复数都可表达成。
虚数单位
编辑
为何需要虚数单位
编辑
- 解方程:
从以上一元二次方程的判别式 中,我们发现36-74=-38小于0,可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数,大概答至这里便可了。若果你学了虚数,又应怎样答呢?
你应答 或 ,其中 是常数,其值为 ,称为虚数单位。
如上题:判别式= , ,
可记做: ,
在古代,数学的应用大多用不着复数,因此人们并没有对复数进行研究。
-
-
- ,其中
-
切记以下的计法不正确:
- 。
只能应用于 时,因为负数的开方是不连续的。
的高次方会不断作以下的循环:
-
-
-
-
-
-
-
-
- ...
1.若 是整数,试计算以下的值:
-
-
-
-
2.设 是虚数单位,若集合 则:
A
B
C
复数的表示:实部、虚部、轭、模
编辑
我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说数轴可以看成实数的一个几何模型.那么能否为复数找一个几何模型呢?
有序数对
编辑
根据复数相等的定义复数 被它的实部和虚部玩意确定,即复数 被 有序实数对 唯一确定;另一方面,有序实数对 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 .因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.
欧拉公式
编辑
等式 称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。
当x为π时,
这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:e,i,π,1,0,连起来.
幂、对数的计算
编辑
棣美弗公式
编辑
几何上的应用
编辑
复数的向量为z=根号(a^2+b^2)
凡·奥贝尔定理的证明
编辑
高斯整数、艾森斯坦整数
编辑
练习解答
编辑