複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成

虛數單位 编辑

為何需要虛數單位 编辑

  • 解方程: 

從以上一元二次方程的判別式 中,我們發現36-74=-38小於0,可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?

你應答  ,其中 是常數,其值為 ,稱為虛數單位

如上題:判別式=  ,  

可記做: ,  

在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。

運算 编辑

 
 
 ,其中 
 

切記以下的計法不正確:

 

 只能應用於 時,因為負數的開方是不連續的。

  的高次方會不斷作以下的循環:

 
 
 
 


 
 
 
 


...

練習 编辑

1.若 是整數,試計算以下的值:

  1.  
  2.  
  1.  
  2.  

2.设 是虚数单位,若集合 则:

A  

B  

C  

複數的表示:實部、虛部、軛、模 编辑

所有複數都可以表示成 ,其中 是實數。 稱為實部,而 稱為虛部。例如 的實部就是 ,虛部是 

一個複數 (Conjugates)是  的軛就是 。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如 的根就是  

複數 的軛寫作 。複數和其軛相乘,即 ,是一個實數。將複數和軛相加, ,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減, ,會得到其虛部的兩倍。  稱為 絕對值

練習 编辑

運算 编辑

相等 编辑

两个复数  ,如果实部与虚部都对应相等,我们说这两个复数相等,记作  

四則運算 编辑

在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:

  • 加、減法:實部加實部,虛部加虛部: 
  • 乘法: 
  • 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分: 

例1:   

例2:求 之值。     

例3:求  之值。

原式=  

 

原式 

=(36—5)i = 31i

開方 编辑

要找一個複數的開 次冪,可以先求 的展開式,再對應欲開 次冪的複數的虛部和實數求解。

例: ,求 

 
 
 

解方程得  ,因此,  

冪、對數 编辑

參見#冪、對數的計算

复平面 编辑

我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说数轴可以看成实数的一个几何模型.那么能否为复数找一个几何模型呢?

有序数对 编辑

根据复数相等的定义复数 被它的实部和虚部玩意确定,即复数 被 有序实数对 唯一确定;另一方面,有序实数对 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 .因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系.

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.

單位圓 编辑

歐拉公式 编辑

等式 称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。 當x為π時,   这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:e,i,π,1,0,连起来.

冪、對數的計算 编辑

棣美弗公式 编辑

幾何上的應用 编辑

向量 编辑

复数的向量为z=根号(a^2+b^2)

變換 编辑

位移 编辑

旋轉 编辑

例子 编辑

凡·奧貝爾定理的證明 编辑

高斯整數、艾森斯坦整數 编辑

質數 编辑

練習解答 编辑

練習一 编辑

1.

  1. 1
  2. i
  3. -1
  4. -i
 
维基百科中的相关条目:

2.B