黃金質數

數學

黃金質數

黃金質數名稱的由來：黃金質數是與黃金分割、斐波那契數列相關的質數，並與畢達哥拉斯質數有聯繫。

黃金質數是{0, 1, 4} mod 5的質數：5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……（Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5、Primes of the form a²±ab-b²、Primes of the form a²±4ab-b²、Primes of the form a²±3ab+b²）（OEIS中的數列A038872）（OEIS中的數列A141158）

在斐波那契數列中,對連續的3項f_n、f_n+1、f_n+2

我們有

f_n+f_n+1=f_n+2…………………………………………………①

並且

|f_nf_n+2-f_n+1²|=1……………………………………………②

由①和②得

|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|=1………………………………………③

對於任意兩個前後排列的數f_n、f_n+1,若能使③成立，則必是斐波那契數列中的兩個相鄰排列的數

③式右邊的數就是斐波那契數列的特徵數：1

對於不是斐波那契數列中的兩個相鄰排列的數f_n、f_n+1，則|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|≠1

例：對於，f_n=1，f_n+1=3，|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|=|1+3-9|=5

此兩數來自於盧卡斯數：2、1、3、4、7、11、18、29……，顯然符合|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|=5的兩個前後排列的數都來自這個數列，這個數列的特徵數就是：5

類似的數列還有很多，如數列3、2、5、7、12、19、31……和數列3、1、4、5、9、14、23……的特徵數都是11

進行比較，我們發現特徵數1（最小）的斐波那契數列的前後兩項的比值是最快迫近黃金比例的，而特徵數較大的數列的前後兩項比值迫近黃金比例較慢，因此，這個特徵數就被我們成為黃金特徵。
黃金特徵中的質數，符合 x²+xy-y²

同時，我們發現，黃金特徵中的質數是符合{0, 1, 4} mod 5的所有質數，而黃金比例的作法又離不開5這個數

所以，黃金特徵中的質數，被稱為黃金質數，是非常貼切的。

黃金質數有許多種等義表達方式，如Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5（OEIS中的數列A038872）、Primes of the form a²±4ab-b²（OEIS中的數列A141158）、Primes of the form a²±ab-b²、Primes of the form a²±3ab+b²等等

從後面幾種表達方式看，他們與畢達哥拉斯質數有關係，同屬於這樣的素數類集合：ma²±nb²±kab

以下的素數集合都屬於：平方和素數集合

畢達哥拉斯素數（Pythagorean prime）（Primes congruent to 1 mod 4）：5、13、17、29、37、41、53、61、73、89……（OEIS中的數列A002144）
勾股質數（Primes congruent to {1，7} mod 8）：7、17、23、31、41、47、71、73、79、89、97、103、113、127……（OEIS中的數列A001132）
圭臬質數（在畢達哥拉斯數中,任一直角邊的2倍與斜邊的差中的質數：Primes congruent to {1， 2，3，11} mod 12）：2、3、11、13、23、37、47、59、61、71、73、83、97、107、109、131、157、167、179……（OEIS中的數列A038874）
黃金質數（Primes congruent to {0，1，4} mod 5）：5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……（OEIS中的數列A038872）（OEIS中的數列A141158）
鑽石質數（Primes congruent to {1，3} mod 6）：3、7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97、103、109、127……（OEIS中的數列A007645）
既是鑽石質數又是畢達哥拉斯質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±4*a*b的鑽戒質數（Primes congruent to 1 mod 12）：13、37、61、73、97、109……（OEIS中的數列A068228）（OEIS中的數列A141122）
另一個鑽石質數的子集能表示為形如a*a+b*b±5*a*b的鑽鐲質數（Primes of the form x^2±3*x*y-3*y^2 (as well as of the form x^2±5*x*y+y^2)）：7、37、43、67、79、109、127、151……（OEIS中的數列A139492）（OEIS中的數列A141159）
既是勾股質數又是畢達哥拉斯質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±6*a*b的魔幻質數（Primes congruent to 1 mod 8）：17、41、73、89、97、113……（OEIS中的數列A007519）（OEIS中的數列A141174）
既是鑽石質數又是黃金質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±7*a*b的鑽鏈質數（Primes of the form x^2+5*x*y-5*y^2 (as well as of the form x^2+7*x*y+y^2)）：19、31、61、79、109、139……（OEIS中的數列A033212）（OEIS中的數列A141184）
畢達哥拉斯質數中的黃金質數（Primes of form x^2+5*y^2）（{1,5,9} mod 20）：5、29、41、61、89、101、109、149、181、229、241……（OEIS中的數列A033205）
同時是畢達哥拉斯質數、鑽石質數和黃金質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±8*a*b的皇冠質數：61、109、181、229、241……（OEIS中的數列A107152）（OEIS中的數列A141301）

根據整數數列線上大全整理並擬名

外部連結

整數數列線上大全 - OEIS