黄金质数

数学

黄金质数

黄金质数名称的由来：黄金质数是与黄金分割、斐波那契数列相关的质数，并与毕达哥拉斯质数有联系。

黄金质数是{0, 1, 4} mod 5的质数：5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……（Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5、Primes of the form a²±ab-b²、Primes of the form a²±4ab-b²、Primes of the form a²±3ab+b²）（OEIS中的数列A038872）（OEIS中的数列A141158）

在斐波那契数列中,对连续的3项f_n、f_n+1、f_n+2

我们有

f_n+f_n+1=f_n+2…………………………………………………①

并且

|f_nf_n+2-f_n+1²|=1……………………………………………②

由①和②得

|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|=1………………………………………③

对于任意两个前后排列的数f_n、f_n+1,若能使③成立，则必是斐波那契数列中的两个相邻排列的数

③式右边的数就是斐波那契数列的特征数：1

对于不是斐波那契数列中的两个相邻排列的数f_n、f_n+1，则|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|≠1

例：对于，f_n=1，f_n+1=3，|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|=|1+3-9|=5

此两数来自于卢卡斯数：2、1、3、4、7、11、18、29……，显然符合|f_n²+f_nf_n+1-f_n+1²|=5的两个前后排列的数都来自这个数列，这个数列的特征数就是：5

类似的数列还有很多，如数列3、2、5、7、12、19、31……和数列3、1、4、5、9、14、23……的特征数都是11

进行比较，我们发现特征数1（最小）的斐波那契数列的前后两项的比值是最快迫近黄金比例的，而特征数较大的数列的前后两项比值迫近黄金比例较慢，因此，这个特征数就被我们成为黄金特征。
黄金特征中的质数，符合 x²+xy-y²

同时，我们发现，黄金特征中的质数是符合{0, 1, 4} mod 5的所有质数，而黄金比例的作法又离不开5这个数

所以，黄金特征中的质数，被称为黄金质数，是非常贴切的。

黄金质数有许多种等义表达方式，如Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5（OEIS中的数列A038872）、Primes of the form a²±4ab-b²（OEIS中的数列A141158）、Primes of the form a²±ab-b²、Primes of the form a²±3ab+b²等等

从后面几种表达方式看，他们与毕达哥拉斯质数有关系，同属于这样的素数类集合：ma²±nb²±kab

以下的素数集合都属于：平方和素数集合

毕达哥拉斯素数（Pythagorean prime）（Primes congruent to 1 mod 4）：5、13、17、29、37、41、53、61、73、89……（OEIS中的数列A002144）
勾股质数（Primes congruent to {1，7} mod 8）：7、17、23、31、41、47、71、73、79、89、97、103、113、127……（OEIS中的数列A001132）
圭臬质数（在毕达哥拉斯数中,任一直角边的2倍与斜边的差中的质数：Primes congruent to {1， 2，3，11} mod 12）：2、3、11、13、23、37、47、59、61、71、73、83、97、107、109、131、157、167、179……（OEIS中的数列A038874）
黄金质数（Primes congruent to {0，1，4} mod 5）：5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……（OEIS中的数列A038872）（OEIS中的数列A141158）
钻石质数（Primes congruent to {1，3} mod 6）：3、7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97、103、109、127……（OEIS中的数列A007645）
既是钻石质数又是毕达哥拉斯质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±4*a*b的钻戒质数（Primes congruent to 1 mod 12）：13、37、61、73、97、109……（OEIS中的数列A068228）（OEIS中的数列A141122）
另一个钻石质数的子集能表示为形如a*a+b*b±5*a*b的钻镯质数（Primes of the form x^2±3*x*y-3*y^2 (as well as of the form x^2±5*x*y+y^2)）：7、37、43、67、79、109、127、151……（OEIS中的数列A139492）（OEIS中的数列A141159）
既是勾股质数又是毕达哥拉斯质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±6*a*b的魔幻质数（Primes congruent to 1 mod 8）：17、41、73、89、97、113……（OEIS中的数列A007519）（OEIS中的数列A141174）
既是钻石质数又是黄金质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±7*a*b的钻链质数（Primes of the form x^2+5*x*y-5*y^2 (as well as of the form x^2+7*x*y+y^2)）：19、31、61、79、109、139……（OEIS中的数列A033212）（OEIS中的数列A141184）
毕达哥拉斯质数中的黄金质数（Primes of form x^2+5*y^2）（{1,5,9} mod 20）：5、29、41、61、89、101、109、149、181、229、241……（OEIS中的数列A033205）
同时是毕达哥拉斯质数、钻石质数和黄金质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±8*a*b的皇冠质数：61、109、181、229、241……（OEIS中的数列A107152）（OEIS中的数列A141301）

根据整数数列线上大全整理并拟名

外部链接

整数数列线上大全 - OEIS