数学式的推导的可视化

这是一个尝试：将数学式的推导过程用图形表示出来，使其更加直观、易于理解和记忆。这种图形和表达式树类似。制作这种图形使用了BS-map（铁路系统标示）模板。

这种图形中有三个基本元素：数量、运算符和连接线。数量包括0、1、pi、e、x、y等已知数量或未知数量（可以是标量、向量或张量），用（BHF）表示。运算符包括+、-、*、/、e^、^2、d/dt、abs(、sqrt(、sin(、f(等已有的或自定义的运算符，用（HST）表示。连接线连接数量和运算符，把它们构成一棵“树”，代表一个数学式。“树”可以是自上而下展开的（top-down），也可以是自下而上展开的（bottom-up）。两棵“树”首尾相接，代表两个数学式相等。

基础

数量

1
图例 1

这是一个点，也是最简单的“树”，它代表一个数量（这里是1）。

1=2
图例 1 2

将两个点用一条竖线相连，就得到了两个数量之间的一个等式，如这个图形就表示“1=2”（当然，这是不正确的）。

加乘运算符

1+1	1+1
图例 + 1 1	图例 1 1 +

这两棵“树”是表示加法的两种方法：自上而下展开的（top-down）和自下而上展开的（bottom-up）。运算符“+”出现在两个数量的上方（或下方），运算符和数量用连接线连在一起。这两棵“树”都表示“1+1”。

“1+1=2”的表示方法则是：

2=1+1	1+1=2
图例 2 + 1 1	图例 1 1 + 2

也有“先展开再收拢”的表示方法：

1+1=2
图例 + 1 1 2

这种表示方法除了加法，还可以表示乘法。只要把运算符换成“*”即可。

加减乘除的更多表示方法展示在下面“简单运算的表示”中。

简单运算的表示

加法

	top-down	bottom-up
a+b	图例 a+b + a b	图例 a b + a+b
a+b+c	图例 a+b+c + a b...c	图例 a b...c + a+b+c
(a+b)+c	图例 (a+b)+c + + c a b	图例 a b + c + (a+b)+c
a+b+c+d	图例 a+b+c+d + a...b c...d	图例 a...b c...d + a+b+c+d
(a+b)+(c+d)	图例 (a+b)+(c+d) + + + a...b c...d	图例 a...b c...d + + + (a+b)+(c+d)
((a+b)+c)+d	图例 ((a+b)+c)+d + + d + c a b	图例 a b + c + d + ((a+b)+c)+d

运算定律

加零	相反数相加	加法交换律	加法结合律
图例 a 0 + a	图例 a -a + 0	图例 a b + + b a	图例 b c a + + + + c a b + a b...c

减法

同加法，只要把 b 换成 -b 即可。

乘法

同加法，只要把 + 换成 * 即可。

运算定律

乘零	乘一	倒数相乘 (a≠0)	乘法交换律	乘法结合律	乘法分配律
图例 a 0 * 0	图例 a 1 * a	图例 a /a * 1	图例 a b * * b a	图例 b c a * * * * c a b * a b...c	图例 b c a + * + * * a...b a...c

除法

同乘法，只要把 b 换成 /b 即可。

复合运算的简写

平方和的开方	平方差的开方
图例 sqrt(a^2+b^2+c^2) sqrt(_^2+_^2+_^2) a b...c	图例 sqrt(a^2-b^2) sqrt(_^2-_^2) a b

函数

任意函数	正弦函数
图例 f(x) f( x	图例 sinx sin( x

微分和导数

	top-down	bottom-up
dx	图例 dx d x	图例 d x dx
dx/dt	图例 dx/dt d/dt x * dx /dt	图例 d/dt x dx/dt
d^2x/dt^2	图例 d^2x/dt^2 d^2/dt x d/dt dx/dt d/dt x	图例 d^2/dt^2 x d^2x/dt~2

运算定律

和的微分	积的微分
图例 a b d + + d...a d...b	图例 a b d * + * * b a d...a d...b