數學式的推導的可視化

這是一個嘗試：將數學式的推導過程用圖形表示出來，使其更加直觀、易於理解和記憶。這種圖形和表達式樹類似。製作這種圖形使用了BS-map（鐵路系統標示）模板。

這種圖形中有三個基本元素：數量、運算符和連接線。數量包括0、1、pi、e、x、y等已知數量或未知數量（可以是標量、向量或張量），用（BHF）表示。運算符包括+、-、*、/、e^、^2、d/dt、abs(、sqrt(、sin(、f(等已有的或自定義的運算符，用（HST）表示。連接線連接數量和運算符，把它們構成一棵「樹」，代表一個數學式。「樹」可以是自上而下展開的（top-down），也可以是自下而上展開的（bottom-up）。兩棵「樹」首尾相接，代表兩個數學式相等。

基礎

數量

1
圖例 1

這是一個點，也是最簡單的「樹」，它代表一個數量（這裏是1）。

1=2
圖例 1 2

將兩個點用一條豎線相連，就得到了兩個數量之間的一個等式，如這個圖形就表示「1=2」（當然，這是不正確的）。

加乘運算符

1+1	1+1
圖例 + 1 1	圖例 1 1 +

這兩棵「樹」是表示加法的兩種方法：自上而下展開的（top-down）和自下而上展開的（bottom-up）。運算符「+」出現在兩個數量的上方（或下方），運算符和數量用連接線連在一起。這兩棵「樹」都表示「1+1」。

「1+1=2」的表示方法則是：

2=1+1	1+1=2
圖例 2 + 1 1	圖例 1 1 + 2

也有「先展開再收攏」的表示方法：

1+1=2
圖例 + 1 1 2

這種表示方法除了加法，還可以表示乘法。只要把運算符換成「*」即可。

加減乘除的更多表示方法展示在下面「簡單運算的表示」中。

簡單運算的表示

加法

	top-down	bottom-up
a+b	圖例 a+b + a b	圖例 a b + a+b
a+b+c	圖例 a+b+c + a b...c	圖例 a b...c + a+b+c
(a+b)+c	圖例 (a+b)+c + + c a b	圖例 a b + c + (a+b)+c
a+b+c+d	圖例 a+b+c+d + a...b c...d	圖例 a...b c...d + a+b+c+d
(a+b)+(c+d)	圖例 (a+b)+(c+d) + + + a...b c...d	圖例 a...b c...d + + + (a+b)+(c+d)
((a+b)+c)+d	圖例 ((a+b)+c)+d + + d + c a b	圖例 a b + c + d + ((a+b)+c)+d

運算定律

加零	相反數相加	加法交換律	加法結合律
圖例 a 0 + a	圖例 a -a + 0	圖例 a b + + b a	圖例 b c a + + + + c a b + a b...c

減法

同加法，只要把 b 換成 -b 即可。

乘法

同加法，只要把 + 換成 * 即可。

運算定律

乘零	乘一	倒數相乘 (a≠0)	乘法交換律	乘法結合律	乘法分配律
圖例 a 0 * 0	圖例 a 1 * a	圖例 a /a * 1	圖例 a b * * b a	圖例 b c a * * * * c a b * a b...c	圖例 b c a + * + * * a...b a...c

除法

同乘法，只要把 b 換成 /b 即可。

複合運算的簡寫

平方和的開方	平方差的開方
圖例 sqrt(a^2+b^2+c^2) sqrt(_^2+_^2+_^2) a b...c	圖例 sqrt(a^2-b^2) sqrt(_^2-_^2) a b

函數

任意函數	正弦函數
圖例 f(x) f( x	圖例 sinx sin( x

微分和導數

	top-down	bottom-up
dx	圖例 dx d x	圖例 d x dx
dx/dt	圖例 dx/dt d/dt x * dx /dt	圖例 d/dt x dx/dt
d^2x/dt^2	圖例 d^2x/dt^2 d^2/dt x d/dt dx/dt d/dt x	圖例 d^2/dt^2 x d^2x/dt~2

運算定律

和的微分	積的微分
圖例 a b d + + d...a d...b	圖例 a b d * + * * b a d...a d...b