哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是加法数论中的一个分支,1900年德国数学家希尔伯特专门介绍了这个重要的问题

希尔伯特的讲话

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8. Problems of prime numbers
8=3+5,

36=31+5,

....。就是哥德巴赫猜想。

当所有整数  都是素数-哥德巴赫猜想.

因为偶数2N=(N+X)+(N-X). 就是哥德巴赫猜想。

架构

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若自然数n不能被不大于 任何素数整除,则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示:  
   
   ......(1)  
   
  其中  表示顺序素数2,3,5,....。 ≠0。

  若 ,则n是一个素数。  
   
  我们可以把(1)式内容等价转换同余式组表示  :
   .......(2)  
   
  由于(2)的模 , ,...,  两两互素, 
  根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的 , ,..., ,(2)式在  ... 范围内有唯一解。  
   

范例

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  k=1时, ,解得n=3,5,7。求得了(3,3²)区间的全部素数。  
   
  k=2时, ,解得n=7,13,19;  

解得n=5,11,17,23。

  求得了(5,5²)区间的全部素数。  
k=3时        
  31 7,37 13,43 19
  11,41 17,47 23 29
  |}求得了(7,7²)区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的 值,(1)和(2)式在  ... 范围内,

有( )( )( )...( ) 个解。

(1)式(2)式与哥德巴赫猜想的合理框架

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怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数,即N+X成为素数,N-X也是素数。

根据除法算式定理:“给定正整数a和b,b≠0,存在唯一整数q和r(0≤r<b),使a=bq+r”。

再根据同余定理:“每一整数恰与0,1,2,3,...,m-1中一数同余(mod m)”。

所以,任给一个自然数N(N>4),都可以唯一表示成为:

 (3)

其中  表示顺序素数2,3,5,....。 

  < N <  

现在问,是否存在X,

 (4)

  

  

如果X<N-2,则N+X与N-X都是素数,因为它们符合(1)(2)式。

范例

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设N=20, 

  < 20 <  


 , , .
构造x        
  21 27 3 9

    

   .    .    .    .

四个解是:21,27,3,9。小于N-2的X有3和9,我们得知,20+3与20-3是一对素数;20+9与20-9是一对素数。 这就是利用素数判定法则:最小剩余不为零,并且 ,则N+X与N-X是一对素数。

因为(N+X)+(N-X)=2N。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想我们需要证明(4)式必然有小于N-2的解,尽管我们现在不能证明它。 埃拉托斯特尼筛法的普遍公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架,并且把问题转入到初等数论范围。 顺便补充一句,(N+X)+(N-X)=2N是一种一维对称(群,伽逻华20岁死于决斗,他留下的思想“群”是将万物绑在一起的粘合剂,对称无所不在,例如镜面对称是二维对称。)

以往证明都是错误的

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设a,b,c是所谓“殆素数”,即n个素数的乘积:

  • 是否【1+1】包含在【1+c】或者【a+b】之内? 如果回答:是!
  • 证明程式是否可以从【1+c】或者【a+b】到达【1+1】? 如果回答:是!
  • 【1+1】是否可以必然从【1+c】或者【a+b】中剥离出来? 如果回答:是!
  • 如果最后证明了【1+1】不能成立,前面三条就是错误的。

分析一,就是说,前面三条是在假定【1+1】必须正确的情况下的“成果”,这个就荒唐了,我们还不知道最后是否正确,就假定了最后成果必然正确。

分析二,如果前面三条不能成立或者不能肯定必然成立,怎么可以算是“成果”呢? 也就是说,从v布龙开始,到王元潘承洞陈景润等都是建立在非逻辑前提下的证明,因此证明无效。

关于假定

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  • 假定。只能用在否定结果的证明中,例如,欧几里得证明素数无穷多个。假定a成立,可以推出b,得到c,c与a矛盾,所以假定的a不能成立,得到非a。
  • 假定不能用在肯定的结论。假定a,可以推出b,得到c,c=a,或者c包含a,所以假定的a成立。(这个就是预期理由的错误)
  • 为什么“假定”只能用于否定的结论,而不能用于肯定的结论?
一个对科学理论更强的逻辑制约因素是,它们是能够被证伪的。换一句话说,因为以后能够被观测作有意义的检验,理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性,证实只能增加一个理论的可信度,却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻,总是会发现与理论有冲突的事例。

参见

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外部链接

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素数公式