哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是加法數論中的一個分支,1900年德國數學家希爾伯特專門介紹了這個重要的問題

希爾伯特的講話

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8. Problems of prime numbers
8=3+5,

36=31+5,

....。就是哥德巴赫猜想。

當所有整數  都是素數-哥德巴赫猜想.

因為偶數2N=(N+X)+(N-X). 就是哥德巴赫猜想。

架構

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若自然数n不能被不大于 任何素数整除,则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示:  
   
   ......(1)  
   
  其中  表示顺序素数2,3,5,....。 ≠0。

  若 ,则n是一个素数。  
   
  我们可以把(1)式内容等价转换同余式组表示  :
   .......(2)  
   
  由于(2)的模 , ,...,  两两互素, 
  根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的 , ,..., ,(2)式在  ... 范围内有唯一解。  
   

範例

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  k=1时, ,解得n=3,5,7。求得了(3,3²)区间的全部素数。  
   
  k=2时, ,解得n=7,13,19;  

解得n=5,11,17,23。

  求得了(5,5²)区间的全部素数。  
k=3時        
  31 7,37 13,43 19
  11,41 17,47 23 29
  |}求得了(7,7²)区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的 值,(1)和(2)式在  ... 范围内,

有( )( )( )...( ) 個解。

(1)式(2)式與哥德巴赫猜想的合理框架

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怎樣使得兩個自然數相加和相減都成為素數,即N+X成為素數,N-X也是素數。

根據除法算式定理:「給定正整數a和b,b≠0,存在唯一整數q和r(0≤r<b),使a=bq+r」。

再根據同餘定理:「每一整數恰與0,1,2,3,...,m-1中一數同餘(mod m)」。

所以,任給一個自然數N(N>4),都可以唯一表示成為:

 (3)

其中  表示順序素數2,3,5,....。 

  < N <  

現在問,是否存在X,

 (4)

  

  

如果X<N-2,則N+X與N-X都是素數,因為它們符合(1)(2)式。

範例

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設N=20, 

  < 20 <  


 , , .
構造x        
  21 27 3 9

    

   .    .    .    .

四個解是:21,27,3,9。小於N-2的X有3和9,我們得知,20+3與20-3是一對素數;20+9與20-9是一對素數。 這就是利用素數判定法則:最小剩餘不為零,並且 ,則N+X與N-X是一對素數。

因為(N+X)+(N-X)=2N。這就是著名的哥德巴赫猜想猜想我們需要證明(4)式必然有小於N-2的解,儘管我們現在不能證明它。 埃拉托斯特尼篩法的普遍公式已經為哥德巴赫猜想提供了合理框架,並且把問題轉入到初等數論範圍。 順便補充一句,(N+X)+(N-X)=2N是一種一維對稱(群,伽邏華20歲死於決鬥,他留下的思想「群」是將萬物綁在一起的粘合劑,對稱無所不在,例如鏡面對稱是二維對稱。)

以往證明都是錯誤的

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設a,b,c是所謂「殆素數」,即n個素數的乘積:

  • 是否【1+1】包含在【1+c】或者【a+b】之內? 如果回答:是!
  • 證明程式是否可以從【1+c】或者【a+b】到達【1+1】? 如果回答:是!
  • 【1+1】是否可以必然從【1+c】或者【a+b】中剝離出來? 如果回答:是!
  • 如果最後證明了【1+1】不能成立,前面三條就是錯誤的。

分析一,就是說,前面三條是在假定【1+1】必須正確的情況下的「成果」,這個就荒唐了,我們還不知道最後是否正確,就假定了最後成果必然正確。

分析二,如果前面三條不能成立或者不能肯定必然成立,怎麼可以算是「成果」呢? 也就是說,從v布龍開始,到王元潘承洞陳景潤等都是建立在非邏輯前提下的證明,因此證明無效。

關於假定

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  • 假定。只能用在否定結果的證明中,例如,歐幾里得證明素數無窮多個。假定a成立,可以推出b,得到c,c與a矛盾,所以假定的a不能成立,得到非a。
  • 假定不能用在肯定的結論。假定a,可以推出b,得到c,c=a,或者c包含a,所以假定的a成立。(這個就是預期理由的錯誤)
  • 為什麼「假定」只能用於否定的結論,而不能用於肯定的結論?
一个对科学理论更强的逻辑制约因素是,它们是能够被证伪的。换一句话说,因为以后能够被观测作有意义的检验,理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性,证实只能增加一个理论的可信度,却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻,总是会发现与理论有冲突的事例。

參見

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外部連結

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素數公式