哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是加法數論中的一個分支，1900年德國數學家希爾伯特專門介紹了這個重要的問題

希爾伯特的講話

8. Problems of prime numbers
8=3+5，

36=31+5，

....。就是哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想：任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和。

當所有整數 $N+X$ 與 $N-X$ 都是素數-哥德巴赫猜想.

因為偶數2N=(N+X)+(N-X). 就是哥德巴赫猜想。

架構

若自然数n不能被不大于 ${\sqrt {n}}$ 任何素数整除，则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：  
   
   $n=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+a_{k}.$ ......(1)  
   
  其中  $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ 表示顺序素数2，3，5，....。 $a$ ≠0。

  若 $n<P_{k+1}^{2}$ ,则n是一个素数。  
   
  我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示  ：

   $n\equiv a_{1}{\pmod {p_{1}}},n\equiv a_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,n\equiv a_{k}{\pmod {p_{k}}}$ .......（2）  
   
  由于（2）的模 $p_{1}$ , $p_{2}$ ,..., $p_{k}$  两两互素， 
  根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的 $a_{1}$ , $a_{2}$ ,..., $a_{k}$ ，（2）式在 $p_{1}$  $p_{2}$ ... $p_{k}$ 范围内有唯一解。

範例

  k=1时， $n=2m_{1}+1$ ，解得n=3，5，7。求得了（3，3²）区间的全部素数。  
   
  k=2时， $n=2m_{1}+1=3m_{2}+1$ ，解得n=7，13，19；  $n=2m_{1}+1=3m_{2}+2$ ，

解得n=5，11，17，23。

  求得了（5，5²）区间的全部素数。

k=3時	$5m_{3}+1$	$5m_{3}+2$	$5m_{3}+3$	$5m_{3}+4$
$n=2m_{1}+1=3m_{2}+1=$	31	7,37	13,43	19
$n=2m_{1}+1=3m_{2}+2=$	11,41	17,47	23	29

  |}求得了（7,7²）区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的 $a_{1},a_{2}\cdot ,a_{k}$ 值，(1)和(2)式在 $p_{1}$  $p_{2}$ ... $p_{k}$ 范围内，

有（ $p_{1}-1$ ）（ $p_{2}-1$ ）( $p_{3}-1$ )...（ $p_{k}-1$ ）個解。

（1）式（2）式與哥德巴赫猜想的合理框架

怎樣使得兩個自然數相加和相減都成為素數，即N+X成為素數，N-X也是素數。

根據除法算式定理：「給定正整數a和b，b≠0，存在唯一整數q和r（0≤r＜b），使a=bq+r」。

再根據同餘定理：「每一整數恰與0,1,2,3，...，m-1中一數同餘（mod m）」。

所以，任給一個自然數N(N>4)，都可以唯一表示成為：

$N=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+e_{k}.$ (3)

其中 $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ 表示順序素數2，3，5，....。 $e_{i}=0,1,2,...,P_{i}-1$ 。

${\frac {p_{k}^{2}}{2}}$ < N < ${\frac {p_{k+1}^{2}}{2}}$

現在問，是否存在X,

$X=p_{1}h_{1}+f_{1}=p_{2}h_{2}+f_{2}=\dots =p_{k}h_{k}+f_{k}.$ （4）

$f_{i}$ ≠ $e_{i}$ ，

$f_{i}$ ≠ $p_{i}-e_{i}$ 。

如果X<N-2，則N+X與N-X都是素數，因為它們符合（1）（2）式。

範例

設N=20， $20=2m_{1}+0=3m_{2}+2=5m_{3}+0$ ；

${\frac {5^{2}}{2}}$ < 20 < ${\frac {7^{2}}{2}}$

 $e_{1}=0$ , $e_{2}=2$ , $e_{3}=0$ .

構造x	$5h_{3}+1$	$5h_{3}+2$	$5h_{3}+3$	$5h_{3}+4$
$X=2h_{1}+1=3h_{2}+0=$	21	27	3	9
$f_{i}$ ≠ $e_{i}$ ， $f_{i}$ ≠ $p_{i}-e_{i}$	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=1$ .	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=2$ .	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=3$ .	$f_{1}=1$ ， $f_{2}=0$ ， $f_{3}=4$ .

四個解是：21，27，3，9。小於N-2的X有3和9，我們得知，20+3與20-3是一對素數；20+9與20-9是一對素數。這就是利用素數判定法則：最小剩餘不為零，並且 $N+X<P_{k+1}^{2}$ ,則N+X與N-X是一對素數。

因為（N+X）+（N-X）=2N。這就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我們需要證明（4）式必然有小於N-2的解，儘管我們現在不能證明它。埃拉托斯特尼篩法的普遍公式已經為哥德巴赫猜想提供了合理框架，並且把問題轉入到初等數論範圍。順便補充一句，（N+X）+（N-X）=2N是一種一維對稱（群，伽邏華20歲死於決鬥，他留下的思想「群」是將萬物綁在一起的粘合劑，對稱無所不在，例如鏡面對稱是二維對稱。）

以往證明都是錯誤的

設a,b,c是所謂「殆素數」，即n個素數的乘積：

是否【1+1】包含在【1+c】或者【a+b】之內？如果回答：是！
證明程式是否可以從【1+c】或者【a+b】到達【1+1】？如果回答：是！
【1+1】是否可以必然從【1+c】或者【a+b】中剝離出來？如果回答：是！
如果最後證明了【1+1】不能成立，前面三條就是錯誤的。

分析一，就是說，前面三條是在假定【1+1】必須正確的情況下的「成果」，這個就荒唐了，我們還不知道最後是否正確，就假定了最後成果必然正確。

分析二，如果前面三條不能成立或者不能肯定必然成立，怎麼可以算是「成果」呢？也就是說，從v布龍開始，到王元潘承洞陳景潤等都是建立在非邏輯前提下的證明，因此證明無效。

關於假定

假定。只能用在否定結果的證明中，例如，歐幾里得證明素數無窮多個。假定a成立，可以推出b，得到c，c與a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
假定不能用在肯定的結論。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（這個就是預期理由的錯誤）
為什麼「假定」只能用於否定的結論，而不能用於肯定的結論？

一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。

參見

孫子定理

外部連結

素數公式