活塞運動方程

本篇以數學公式說明，從連桿聯結到曲柄的非偏移活塞運動（在內燃機中）；並且就這些運動方程式如何導出，附一示例圖。

曲軸幾何

活塞銷、曲柄銷和曲柄中心幾何佈局示意圖

定義

$l$ 活塞桿長度（活塞銷與曲柄銷之間的距離）

$r$ 曲柄半徑（曲柄銷與曲柄中心之間的距離，即半行程）

$A$ 曲軸轉角（從缸膛中心線開始）

$x$ 活塞銷位置（從曲軸中心沿缸膛中心線向上）

$v$ 活塞銷速度（從曲軸中心沿缸膛中心線向上）

$a$ 活塞銷加速度（從曲軸中心沿缸膛中心線向上）

$\omega$ 曲柄角速度

角速度

所述曲軸的角速度，即是發動機每分鐘轉數（RPM）：

$\omega ={\frac {2\pi \cdot \mathrm {RPM} }{60}}$

三角關係

如圖所示，曲柄銷，曲柄中心和活塞銷形成角NOP。根據餘弦定理可以看出：

$l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A$

關於角度位置的方程（角度域）

以下公式描述活塞相對於曲軸轉角的往復運動。下面顯示了這些方程的示例圖。

位置

相對於曲軸轉角的位置（通過重新排列三角關係）：

$l^{2}-r^{2}=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A$

$l^{2}-r^{2}=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A+r^{2}[(\cos ^{2}A+\sin ^{2}A)-1]$

$l^{2}-r^{2}+r^{2}-r^{2}\sin ^{2}A=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A+r^{2}\cos ^{2}A$

$l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}$

$x-r\cdot \cos A={\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}$

$x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}$

速度

相對於曲軸轉角的速度（採用一階導數，使用鏈式法則）：

${\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\sin A+{\frac {({\frac {1}{2}}).(-2).r^{2}\sin A\cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}\\&=&-r\sin A-{\frac {r^{2}\sin A\cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}\end{array}}$

加速

關於曲軸轉角的加速度（採用二階導數，使用鏈式法則和商法則）：

${\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cos A-{\frac {r^{2}\cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\sin A\cos A.(-{\frac {1}{2}})\cdot (-2).r^{2}\sin A\cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cos A-{\frac {r^{2}(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\sin ^{2}A\cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\end{array}}$

時間方程（時域）

角速度導數

如果角速度是恆定的，那麼

$A=\omega t\,$

並適用以下關係：

${\frac {dA}{dt}}=\omega$

${\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0$

從角度域轉換到時域

下面的等式描述了活塞相對於時間的往復運動。如果時間域是必需的，而不是角度域，先用 ω 取代在等式噸，然後擴展為角速度如下：

位置

單純相對於時間的位置即是：

$x\,$

速度

相對於時間的速度（使用鏈式法則）：

${\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}$

加速

相對於時間的加速度（使用鏈式法則和乘積法則以及角速度導數）：

${\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}$

速度最大值/最小值

加速過零點

速度的最大值和最小值都沒有在曲柄角度發生（A）加或減90°。速度最大值和最小值出現在取決於桿長（l）和半行程（r）的曲柄角上，並且對應於加速度為零（橫過水平軸）的曲柄角。

曲柄桿角度不正確

當曲柄與桿成直角時，速度最大值和最小值不一定會發生。有反例證明當曲柄角度正確時速度最大值/最小值出現的觀點。

示例

對於 6 英吋的連桿長和 2 英吋的曲柄半徑，通過數值求解加速度過零點，可確定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°處。然後使用三角正弦定律，發現曲柄角為88.21738°，桿垂直角為18.60647°。在這個例子中，顯然地曲柄和連桿之間的角度並不是直角。

總結三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°給出 180.000°。這個反例就反駁了「速度最大值/最小值是發生在當曲柄與桿成直角時」的說法。

活塞運動示例圖

曲線圖顯示了相對於曲軸轉角的 x，x'，x" 的各種半衝程，其中 L =長度（l）和 R =半行程（r）：

The vertical axis units are inches for position, [inches/rad] for velocity, [inches/rad²] for acceleration.
The horizontal axis units are crank angle degrees.

杆長和曲柄半徑與上圖相同的活塞動畫：

活塞各半衝程動畫

參考文獻

• http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm

延伸閱讀

• John Benjamin Heywood, Internal Combustion Engine Fundamentals, McGraw Hill, 1989.
• Charles Fayette Taylor, The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2, 2nd Edition, MIT Press 1985.

外部連結

• epi-eng Piston Motion
• codecogs Velocity and Acceleration of a Piston
• animated engines Four Stroke Engine
• desmos interactive crank animation
• networcs D & T Mechanisms - Interactive Tools for Teachers
• mecamedia piston motion animation
• youtube Rotating chevy 350 short block.
• youtube 3D animation of a V8 ENGINE
• youtube Inside a V8 Engine at Idle Speed