活塞运动方程

本篇以数学公式说明，从连杆联结到曲柄的非偏移活塞运动（在内燃机中）；并且就这些运动方程式如何导出，附一示例图。

曲轴几何

活塞销、曲柄销和曲柄中心几何布局示意图

定义

$l$ 活塞杆长度（活塞销与曲柄销之间的距离）

$r$ 曲柄半径（曲柄销与曲柄中心之间的距离，即半行程）

$A$ 曲轴转角（从缸膛中心线开始）

$x$ 活塞销位置（从曲轴中心沿缸膛中心线向上）

$v$ 活塞销速度（从曲轴中心沿缸膛中心线向上）

$a$ 活塞销加速度（从曲轴中心沿缸膛中心线向上）

$\omega$ 曲柄角速度

角速度

所述曲轴的角速度，即是发动机每分钟转数（RPM）：

$\omega ={\frac {2\pi \cdot \mathrm {RPM} }{60}}$

三角关系

如图所示，曲柄销，曲柄中心和活塞销形成角NOP。根据馀弦定理可以看出：

$l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A$

关于角度位置的方程（角度域）

以下公式描述活塞相对于曲轴转角的往复运动。下面显示了这些方程的示例图。

位置

相对于曲轴转角的位置（通过重新排列三角关系）：

$l^{2}-r^{2}=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A$

$l^{2}-r^{2}=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A+r^{2}[(\cos ^{2}A+\sin ^{2}A)-1]$

$l^{2}-r^{2}+r^{2}-r^{2}\sin ^{2}A=x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A+r^{2}\cos ^{2}A$

$l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}$

$x-r\cdot \cos A={\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}$

$x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}$

速度

相对于曲轴转角的速度（采用一阶导数，使用链式法则）：

${\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\sin A+{\frac {({\frac {1}{2}}).(-2).r^{2}\sin A\cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}\\&=&-r\sin A-{\frac {r^{2}\sin A\cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}\end{array}}$

加速

关于曲轴转角的加速度（采用二阶导数，使用链式法则和商法则）：

${\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cos A-{\frac {r^{2}\cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\sin A\cos A.(-{\frac {1}{2}})\cdot (-2).r^{2}\sin A\cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cos A-{\frac {r^{2}(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\sin ^{2}A\cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\end{array}}$

时间方程（时域）

角速度导数

如果角速度是恒定的，那么

$A=\omega t\,$

并适用以下关系：

${\frac {dA}{dt}}=\omega$

${\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0$

从角度域转换到时域

下面的等式描述了活塞相对于时间的往复运动。如果时间域是必需的，而不是角度域，先用 ω 取代在等式吨，然后扩展为角速度如下：

位置

单纯相对于时间的位置即是：

$x\,$

速度

相对于时间的速度（使用链式法则）：

${\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}$

加速

相对于时间的加速度（使用链式法则和乘积法则以及角速度导数）：

${\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}$

速度最大值/最小值

加速过零点

速度的最大值和最小值都没有在曲柄角度发生（A）加或减90°。速度最大值和最小值出现在取决于杆长（l）和半行程（r）的曲柄角上，并且对应于加速度为零（横过水平轴）的曲柄角。

曲柄杆角度不正确

当曲柄与杆成直角时，速度最大值和最小值不一定会发生。有反例证明当曲柄角度正确时速度最大值/最小值出现的观点。

示例

对于 6 英吋的连杆长和 2 英吋的曲柄半径，通过数值求解加速度过零点，可确定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°处。然后使用三角正弦定律，发现曲柄角为88.21738°，杆垂直角为18.60647°。在这个例子中，显然地曲柄和连杆之间的角度并不是直角。

总结三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°给出 180.000°。这个反例就反驳了“速度最大值/最小值是发生在当曲柄与杆成直角时”的说法。

活塞运动示例图

曲线图显示了相对于曲轴转角的 x，x'，x" 的各种半冲程，其中 L =长度（l）和 R =半行程（r）：

The vertical axis units are inches for position, [inches/rad] for velocity, [inches/rad²] for acceleration.
The horizontal axis units are crank angle degrees.

杆长和曲柄半径与上图相同的活塞动画：

活塞各半冲程动画

参考文献

• http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm

延伸阅读

• John Benjamin Heywood, Internal Combustion Engine Fundamentals, McGraw Hill, 1989.
• Charles Fayette Taylor, The Internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1 & 2, 2nd Edition, MIT Press 1985.

外部链接

• epi-eng Piston Motion
• codecogs Velocity and Acceleration of a Piston
• animated engines Four Stroke Engine
• desmos interactive crank animation
• networcs D & T Mechanisms - Interactive Tools for Teachers
• mecamedia piston motion animation
• youtube Rotating chevy 350 short block.
• youtube 3D animation of a V8 ENGINE
• youtube Inside a V8 Engine at Idle Speed