院系:李煌數學研究院/和與積之研究

一

已知：$2\nmid n,n\geq 3,p\neq 0,q\neq 0$

已知：$x^{n}+px^{n-2}+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n}$

• 則壹定滿足李煌關系：$x_{1}^{n-2}+x_{2}^{n-2}+x_{3}^{n-2}+\dots +x_{n}^{n-2}=0$(可由牛頓發現之定理推出,故算李煌重復發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2})}^{n-2}+{(x_{1}x_{3})}^{n-2}+\dots +{(x_{n-1}x_{n})}^{n-2}=p^{n-2}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，但可由牛頓之定理和一個非常難想到的恆等式${\frac {(a^{n}+b^{n}+c^{n})^{2}-(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n})}{2}}=(ab)^{n}+(ac)^{n}+(bc)^{n}$推出，雖然本人(李煌)並不是這樣證明的和發現的，故也算重複發現了，深感淒涼和人生之慘淡)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}x_{3})}^{n-2}+{(x_{1}x_{2}x_{4})}^{n-2}+\dots +{(x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-2}={(2-n)}p^{n-3}q$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}^{n-2}+{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{5})}^{n-2}+\dots +{(x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-2}={\frac {{(n-2)(n-3)}p^{n-4}q^{2}}{2}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5})}^{n-2}+{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{6})}^{n-2}+\dots +{(x_{n-4}x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-2}={\frac {{(2-n)(n-3)(n-4)}p^{n-5}q^{3}}{6}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下($k\geq 2,k\leq n,k\in \mathbb {Z}$)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}\dots x_{k})}^{n-2}+{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n-2}+\dots +{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})}^{n-2}=(-1)^{k}{\binom {n-2}{k-2}}p^{n-k}q^{k-2}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

二

已知：$n\in \mathbb {Z} ,n\geq 2$

已知：$x^{n}+px+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n}$

• 則壹定滿足李煌關系：$x_{1}^{n-1}+x_{2}^{n-1}+x_{3}^{n-1}+\dots +x_{n}^{n-1}=(1-n)p$

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2})}^{n-1}+{(x_{1}x_{3})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{2}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}x_{3})}^{n-1}+{(x_{1}x_{2}x_{4})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{3}{\frac {(1-n)(n-2)(n-3)}{6}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}^{n-1}+{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{5})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{4}{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5})}^{n-1}+{(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{6})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-4}x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{5}{\frac {(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{120}}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下($k\geq 1,k\leq n-1,k\in \mathbb {Z}$)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_{1}x_{2}\dots x_{k})}^{n-1}+{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}}p^{k}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

推論一

• 李煌-二項式係數定理

已知：$n\in \mathbb {Z} ,n\geq 2$

已知：$x^{n}-x+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n}$

已知：$k\geq 1,k\leq n-1,k\in \mathbb {Z}$

結論:

則存在二項式係數李煌計算形式

${\binom {n-1}{k}}={(x_{1}x_{2}\dots x_{k})}^{n-1}+{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})}^{n-1}$

推論二

• 李煌-二項式係數定理

已知：$n\in \mathbb {Z} ,n\geq 1$

已知：$x^{n+1}-x+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}\dots x_{n},x_{n+1}$

已知：$k\geq 1,k\leq n,k\in \mathbb {Z}$;

結論:則存在二項式係數李煌計算形式

${\binom {n}{k}}={(x_{1}x_{2}\dots x_{k})}^{n}+{(x_{1}x_{2}\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n}+\dots +{(x_{n-k+2}x_{n-k+3}\dots x_{n}x_{n+1})}^{n}$

例如：n=2,k=2；$x^{3}-x+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3}$;則存在二項式係數李煌計算形式 ${(x_{1}x_{2})}^{2}+{(x_{1}x_{3})}^{2}+{(x_{2}x_{3})}^{2}={\binom {2}{2}}=1$

例如：n=5,k=2；$x^{6}-x+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}$;則存在二項式係數李煌計算形式

$(x_{1}x_{2})^{5}+(x_{1}x_{3})^{5}+(x_{1}x_{4})^{5}+(x_{1}x_{5})^{5}+(x_{1}x_{6})^{5}+(x_{2}x_{3})^{5}+(x_{2}x_{4})^{5}+(x_{2}x_{5})^{5}+$

$(x_{2}x_{6})^{5}+(x_{3}x_{4})^{5}+(x_{3}x_{5})^{5}+(x_{3}x_{6})^{5}+(x_{4}x_{5})^{5}+(x_{4}x_{6})^{5}+(x_{5}x_{6})^{5}={\binom {5}{2}}=10$

例如：n=4,k=3；$x^{5}-x+q=0$之解為 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$ 則存在二項式係數李煌計算形式

$(x_{1}x_{2}x_{3})^{4}+(x_{1}x_{2}x_{4})^{4}+(x_{1}x_{2}x_{5})^{4}+(x_{1}x_{3}x_{4})^{4}+(x_{1}x_{3}x_{5})^{4}+(x_{1}x_{4}x_{5})^{4}+$

$(x_{2}x_{3}x_{4})^{4}+(x_{2}x_{3}x_{5})^{4}+(x_{2}x_{4}x_{5})^{4}+(x_{3}x_{4}x_{5})^{4}={\binom {4}{3}}=4$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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