素數公式
2000年前的古希臘數學家埃拉特斯特尼創造了一種篩法,可以求得給定一個自然數以內的所有素數,只要在2—n內篩去不大於的素數的倍數,剩下的就是素數。
素數的埃拉特斯特尼篩法公式 編輯
若自然数n不能被不大于任何素数整除,则n是一个素数。 可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示: (1) 其中 表示顺序素数2,3,5,....。≠0。 若,则n是一个素数。 我们可以把(1)式内容等价转换同余式组表示 : (2) 由于(2)的模,,..., 两两互素, 根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的,,...,,(2)式在...范围内有唯一解。
范例 k=1时,,解得n=3,5,7。求得了(3,)区间的全部素数。 k=2时,,解得n=7,13,19; ,
解得n=5,11,17,23。
求得了(5,)区间的全部素数。
k=3時 | ||||
---|---|---|---|---|
31 | 7,37 | 13,43 | 19 | |
11,41 | 17,47 | 23 | 29 |
|}求得了(7,)区间的全部素数。 仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 对于所有可能的,,...,,(1)和(2)式在...范围内,
有()()()...() 個解。
黎曼猜想的素數公式與埃拉托斯特尼篩法關係 編輯
參見《素數之戀》第100頁德比希爾著。
- 。(5)
在等號兩邊乘以 ,由冪運算規則得到。
。(6)
我们从第(6)式子减去第二个式子,在左边我有一个 .
又有它的 ,做減法得:
( ) 。(7)
这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。
現在我們在等號兩邊乘以 ,而3是右邊第一個還沒有去掉的數:
( ) 。(8)
我们再做减法得:
( )( ) 。(9)
3的所有倍數都從那個無窮和中消失了,右邊還有第一個沒有被去掉的數是5,如果我們兩邊都乘以 ,結果是:
( )( ) 。(10)
從前面那個式子減去這個式子得:
( )( )( ) 。(11)
我們繼續下去,對於大於1的任意s,左邊對每一個帶括號的表達式,並向右邊一直繼續下去,對這個式子的兩邊都依次逐個除以這些括號,我們得到:
- = 。(12)
(5)=(12) 說明黎曼猜想不是憑空產生的,而是來源與埃拉特斯特尼篩法。
參見 編輯
參考文獻 編輯
- 參見《素數之戀》第100頁德比希爾著
- 《談談素數表達式》【中等數學】1999年2期--吳振奎教授
- 《關於一個尋找素數方法的理論依據》【中等數學】2001年4期--陳志雲教授
- 《從台爾曼公式談起》【中等數學】2002年5期--王曉明教授。