地震學基礎試行講義/大森公式專題

概述

對地震波稍有了解的朋友們都知道，在一次地震發生後，測站首先會先後觀測到P波和S波的波形。在日本初中的地球科學科目的教學中，學生需要通過若干個測站的震中距和觀測到P波和S波的時間來計算出發震時刻、其他測站觀測到地震波的時間等參數。

19世紀末，日本地震學先驅大森房吉（Omori Fusakichi）提出了兩個公式，被統稱為大森公式（Omori's law），分別為

$d=(v_{p}*v_{s})/(v_{p}-v_{s})*t_{0}$

其中， $d$ 為測站與震源的距離， $v_{p}$ 為P波傳播速度， $v_{s}$ 為S波傳播速度， $t_{0}$ 為初期微動持續時間（duration of preliminary tremors）。

$N(t)=K/(t+c)$

其中， $N(t)$ 為主震發生後到特定時間t內餘震的數量， $K$ 和 $c$ 均為係數。

1961年，日本地震學家宇津德治對餘震次數與時間的關係式進行了修正，為目前被廣泛運用的版本。表達式為

$N(t)=K/(t+c)^{p}$

其中， $N(t)$ 為主震發生後到特定時間 $t$ 內餘震的數量， $K$ 和 $c$ 均為係數， $p$ 為和衰減速度相關的係數。

由於初期微動持續時間與震源距離的關係式僅是通過運動學公式推導得來，因此在中國，一般地，大森公式僅表示1894年提出的餘震次數與時間的關係式。在本講義中，我們將著重說明1899年提出的初期微動持續時間與震源距離的關係式。

在運動學中，速度、距離和時間的關係為

$v=s/t$

其中， $v$ 為速度， $s$ 為距離， $t$ 為時間。

在均勻介質內，假定P波和S波的傳播速度不會衰減，則P波和S波的傳播均為勻速直線運動，其速度 $v_{p}$ 和 $v_{s}$ 分別為

$v_{p}=d/t_{p}$

$v_{s}=d/t_{s}$

其中， $d$ 為測站與震源的距離， $t_{p}$ 為P波傳播總時間， $t_{s}$ 為S波傳播總時間。

我們以 $t_{0}$ 表示測站從記錄到P波到記錄到S波之間的時間（即初期微動持續時間），即 $t_{0}=t_{s}-t_{p}$ ，則有

$t_{0}=d/v_{s}-d/v_{p}$

整理，得到初期微動持續時間與震源距離的關係式

$d=(v_{p}*v_{s})/(v_{p}-v_{s})*t_{0}$

【例題】

如下表所示。該表列出了測站A的震源距離以及觀測到P波和S波的時間。由於種種問題，測站A的部分數據受損無法顯示。

	震源距離	觀測到P波的時間	觀測到S波的時間
測站A	53.3 km	******	8:05:23.9

已知該次地震的震源深度為10.0 km，該地區的P波和S波的傳播速度分別為6.4 km/s和4.0 km/s。震波傳播速度的衰減忽略不計。則測站A觀測到P波的時間為何時？

【解答】

根據測站A的數據和P波和S波的傳播速度，代入初期微動持續時間與震源距離的關係式，得到

$t_{0}=(v_{p}-v_{s})/(v_{p}*v_{s})*d=(6.4-4.0)/(6.4*4.0)*53.3\thickapprox 5.0s$

因此，測站A觀測到P波的時間較觀測到S波的時間早5.0秒，即8:05:18.9。

上述例題是一道十分經典的日本初中地球科學的固體地球章節計算練習題。題目清晰地給出了所有條件，即便沒有記住初期微動持續時間與震源距離的關係式，通過運動學公式稍作計算也可求出所求參數。

雖然中國的中等教育階段暫時沒有地球科學課程，但通過中國的初中物理課程，也可以推算出初期微動持續時間與震源距離的關係式這樣的公式。雖然在現實中，地震波的傳播速度會隨著傳播距離的增加而衰減，但作為地震學基礎知識，通過這樣的引導，也可對P波和S波的傳播得到進一步認識。

1 如下表所示。該表列出了測站A的震源距離以及觀測到P波和S波的時間。由於種種問題，測站A的部分數據受損無法顯示。


	震中距	觀測到P波的時間	觀測到S波的時間
測站A	40.0 km	12:35:19.1	******

已知該次地震的震源深度為30.0 km，該地區的P波和S波的傳播速度分別為6.5 km/s和4.0 km/s。震波傳播速度的衰減忽略不計。

1.測站A觀測到S波的時間為何時？

2.該次地震的發震時刻為何時？