靜態分岔

 物理學系 非線性動力學 靜態分岔

本章從確定性的非線性動力學方程組出發，先從最基礎的單擺開始，簡單介紹方程解的漸進行為。然後再看當控制參數發生變化時非線性系統的變化，即分岔理論的目的。我們這裏先講解靜態分岔，突變理論與動態分岔在下一章節。

單擺運動

設有一個單擺，我們知道其運動方程為：${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0$（1.1）

那麼，當$\theta$的絕對值遠小於1時，我們可以將方程1.1線性化為${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0$ （1.2）

通過振動力學的方式求解，得：$\theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})$ （1.3）

設我們將初始的擺角擴大n倍，那麼我們就有角$\theta '_{0}=n\theta _{0}$，並有方程：$\theta '(t)=n\theta _{0}\sin(\omega t+\varphi _{0})$ （1.4）

上述解的基礎都限於當$sin\theta \approx \theta$ 時，即$\theta$趨於零時的情況，那麼當其數值並不小的時候，我們如何去求解？

首先，我們已經知道單擺運動的角度不得超過5度，當大於5度時，我們首先可以確立兩個條件：

1. $mgsin\theta$提供了單擺的回覆力。
2. 當回復力愈大時，加速度愈大，振動周期愈小，因而可見振動與回復力大小關係。

自然而然的，我們就可以試圖去求其精確解，可得諧振動方程如下：

${\dot {\theta }}=\omega$
${\dot {\omega }}=-\omega _{0}^{2}sin\theta$ （1.5）

而單擺的振動周期就可以明確為：$T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ （1.6）

我們將由位形變量和速度變量構成的空間稱為狀態空間，並可以用空間相圖來展示系統的性態（有興趣的可以自己試試，有利於理解相關概念）。

對方程1.5變形可得：${\frac {d\omega }{d\theta }}=-{\frac {\omega _{0}^{2}sin\theta }{\omega }}$ （1.7）

為了解出方程1.7，我們需要關注其中一個變量$sin\theta$。

使用積分求出含有第一類橢圓積分的單擺周期公式，由機械能守恆定律可得方程式如下：

${\frac {1}{2}}mL^{2}\theta ^{2}+mgL(1-cos\theta )=mgL(1-cos\theta _{0})$ （1.8）

那麼通過如上公式，我們就可以判斷角移$\theta ={\sqrt {{\frac {2g}{L}}(cos\theta -cos\theta _{0})}}$（1.9）

展開方程1.9，我們就會得到利用橢圓積分計算表示的單擺周期運動，將此展開後截取最早的兩項，就可以得到新的運動方程：

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}})=0$ （1.10）

再對方程1.8簡寫，就可以看到一個新的方程如下：

$H={\frac {1}{2}}\omega ^{2}+\omega ^{2}(1-cos\theta )$

$2H={\dot {\theta }}^{2}+4\omega _{0}^{2}sin^{2}{\frac {\theta }{2}}$ （1.11）

線性微分方程

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