一元三次方程式

解法

階段一：變形去除三次項

1.$at^{3}+bt^{2}+ct+d=0\Rightarrow$ 以 $t=x-{\frac {b}{3a}}$ 代入

2.得 $x^{3}+px+q=0$，令其三根為 $x_{1},x_{2},x_{3}$

階段二：變身為二次方程式

3.

令${\begin{cases}x_{1}=u+v\\x_{2}=u\omega +v\omega ^{2}\\x_{3}=u\omega ^{2}+v\omega \end{cases}}$	$\Rightarrow$	$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$	$\Rightarrow$	${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3uv=p\\-x_{1}x_{2}x_{3}=-(u^{3}+v^{3})=q\end{cases}}$

4.

設${\begin{cases}y_{1}=u^{3}\\y_{2}=v^{3}\end{cases}}$	$\Rightarrow$	${\begin{cases}y_{1}+y_{2}=-q\\y_{1}y_{2}=-({\frac {p}{3}})^{3}\end{cases}}$

5.故 $y_{1},y_{2}$ 為 $y^{2}+qy+-({\frac {p}{3}})^{3}=0$ 的兩根

階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根

6.

$u={\sqrt[{3}]{y_{1}}},v={\sqrt[{3}]{y_{2}}}$	${\begin{cases}x_{1}=u+v\\x_{2}=u\omega +v\omega ^{2}\\x_{3}=u\omega ^{2}+v\omega \end{cases}}$

例題

例題一

題目：$x^{3}-3x+2=0$

1. $y_{1},y_{2}$ 為 $y^{2}+2y+1=0$ 的兩根，分別為 -1,-1，各開三方後分別為 -1,-1
2. $x^{3}-3x+2=0$ 的三根為 -1+-1,-1ω+-1ω²,-1ω²+-1ω，即 -2,1,1

例題二

題目：$x^{3}-12x-16=0$

1. $y_{1},y_{2}$ 為 $y^{2}-16y+64=0$ 的兩根，分別為 8,8，各開三方後分別為 2,2
2. $x^{3}-3x+2=0$ 的三根為 2+2,2ω+2ω²,2ω²+2ω，即 4,-2,-2

參見

• 一元四次方程式