整式

單項式和多項式

單項式和多項式合稱為整式。

單項式

單項式是任意個字母和數字的乘積。

一個字母或一個數字也叫單項式。一個數字的項被稱為常數項。

例如：$2a$，$b^{3}$，$-1$，$xy$，$4ab^{2}$，這些都是單項式。

一個單項式的各個字母因數的次冪（又稱指數）之和是這個單項式的次數。例如：$4a^{3}b^{2}c$的次數是3+2+1。常數項的次數是0.

一個單項式的數字因數是這個單項式的係數。例如：$2x$的係數是$2$。$-a$的係數是$-1$。通常$\pm 1$為係數時略寫。

多項式

任意個單項式的和叫做多項式。例如：$a^{2}+2ab+b^{2}$。其中，$a^{2},2ab,b^{2}$叫做這個多項式的項。這個多項式有幾個項，就是這個數的項數

如果將多項式的各個項按照次數的大小列寫，由大到小稱為降冪，由小到大稱為升冪。常數項例如：多項式$x^{3}y+x^{2}y-4xy^{2}+3xy-x-2y+1$是按照降冪排序的。將它升冪排序的結果則是：$1-2y-x+3xy-4xy+x^{2}y+x^{3}y$。

通常，用降冪排序來列寫多項式。如果多項式的項的最高次冪為m，共有n項,則稱為m次n項式。

練習一

1. 指出下面單項式的係數和指數。
   • $2abcde$
   • $1$
   • $4x$
   • $8x^{2}y$
2. 根據本多項式，回答問題。
   • $x^{2}+5y^{3}z+2$
   • $3-12x+y$
   • $a^{5}+b^{2}c^{3}-1$
     1. 該多項式是幾次幾項式？
     2. 指出本式中的常數項，最高次項。
     3. 請按每項中y的次數升冪排列本多項式。
     4. 請按每項的次數降冪排列本多項式。

整式的加減

整式的加減主要涉及到合併同類項和去括號。

合併同類項

例如：

$5x+36+36x-5$

$(5+36)x+36-5$

5＋36＝41, 36－５＝31

$=41x+31$

去括號

化簡以下式子： $6(6x+5xy+y+6)+6xy-3y-11(x+xy+1)=5xy+11$ 先去括號，再合併同類項： $36x+(30+6)xy+(6-3)y+36-11(x+xy+1)=5xy+11$ 30＋6＝36, 6－3＝3 $36x+36xy+3y+36-11x-11xy-11=5xy+11$ $(36-11)x+(36-11-5)xy+3y+(36-11-11)=0$ 36－11＝25, 36－11－5＝20, 36－11－11＝14

故得解：$25x+20xy+3y+14=0$

整式的乘除

整式乘法

例如以下的兩個多項式：

${\begin{aligned}P&={9X-Y-1}\\Q&={11X+4Y+11XY+4}\end{aligned}}$

計算它們的乘積，步驟如下：

$PQ=(9X\cdot 11X)+(9X\cdot 4Y)+(9X\cdot 11XY)+(9X\cdot 4)$

$+(-Y\cdot 11X)+(-Y\cdot 4Y)+(-Y\cdot 11XY)+(-Y\cdot 4)$

$+(-1\cdot 11X)+(-1\cdot 4Y)+(-1\cdot 11XY)+(-1\cdot 4)$

$PQ=99X^{2}-4Y^{2}+99X^{2}Y-11XY^{2}$

$+(36-11)X+(-4-4)Y$

$+(36-11-11)XY-4$

36－11＝25，－4－4＝－8，

36－11－11＝14

$PQ=99X^{2}-4Y^{2}+99X^{2}Y-11XY^{2}+25X-8Y+14XY-4$

整式除法

例如，計算$X^{3}+36X^{2}+280X+36$除以$X+11$，列式如下：

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;+25X\quad +5\\\qquad \quad X+11{\overline {)X^{3}+36X^{2}+280X+36}}\\\;\;{\underline {\;X^{3}+11X^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;25X^{2}+280X\\\qquad \qquad \qquad \quad \;{\underline {25X^{2}+275X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 5X+36\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {5X+55}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;\;\;\;-19\end{matrix}}$

因此，商式是$\ X^{2}+25X+5$，餘式是$\ -19$。

利用綜合除法計算$X^{3}+36X^{2}+280X+36$除以$X+11$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\-11\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

把被除式最高次項的系數寫下來

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

乘上左邊的常數再放上第二行

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&{\color {Orange}-11}&&\\\hline 1&36{\color {Orange}-11}&&\\\end{array}}\end{array}}$

與上面的系數相加，$36{\color {Orange}-11}=25$，將25 寫到下面

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&{\color {Orange}-11}&&\\\hline 1&25&&\\\end{array}}\end{array}}$

重複乘法加法運算，直到除法結束

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\-11\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&36&280&36\\&{\color {Orange}-11}&{\color {Red}-275}&{\color {Violet}-55}\\\hline 1&25&5&-19\end{array}}\end{array}}$

結果得出商式為$x^{2}+25x+5$，餘式為$36{\color {Violet}-55}=-19$