數學分析

數學分析之課程, 英文或可作Mathematical Analysis, 但此名甚少出現在英文語境下, 究其原因, 如果是給大學階段之前的學生開設的分析課程, 名字常作Precalculus, 如果是給大學低年級學生開設的分析課程, 名字常作Calculus. 到了大學高年級, 學生可能學到的分析課程往往是Real Analysis, Complex Analysis (亦常作Function of a complex variable) 等等. 英文環境下實在難以尋覓一門叫做Mathematical Analysis的課程. 中國的數學分析課程一般是數學系大一大二學生的必修課, 一般是三個學期的課程, 但也可能是兩個學期或四個學期的課程, 其特點是不僅包含Calculus的內容, 還包含Real Analysis的內容 (但一般不含測度論和勒貝格積分等內容), 一些中國的學校甚至可以講完一般Stokes定理 (這實際上是非常奇怪的事情).

數學分析課程一般至少要包含以下內容:

• 基本的集合論 (有可能會包含一定的公理集合論的內容), 函數的集合論觀點下的定義
• 數系的構造 (雖然諸多數學分析書會至少包含實數系的構造, 但是往往在教學中略去不講)
• 實數序列的極限的定義和計算 (較Calculus這樣的課程, 不僅更加嚴格, 計算難度也更高)
• 實函數 (在這裏, 實函數指實值的以實數集的子集為定義域的函數) 的連續性的定義, 一致連續的定義, 間斷點的分類, 閉區間上的連續函數的性質等
• 實函數的導數 (微分) 的定義, 初等函數的導數, 求導法則, 微分中值定理, 泰勒定理 (一般是比較嚴格的講法), 導數的物理意義和應用, 導數對於函數性態的研究 (包含凸函數, 拐點等內容)
• 黎曼積分, 達布積分, 微積分基本定理, 含參量積分, 廣義積分, 積分的物理應用