微積分

微積分ui5-khip4-hun是一門現代數學，真濟科技需要因。

數列極限

無窮數列或有極限。

反導函數和積分

一個函數$f(x)$的反導函數(英語：Antiderivative,antiderivativus)是$F'(x)=f(x)$的所有$F(x)$。

求反導函數

求反導函數的過程稱為積分。

反導公式

${\begin{matrix}functio&antiderivativus\\cf(x)&cF(x)+c\\f(x)+g(x)&F(x)+G(x)+c\\x^{n}(n\neq -1)&{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+c\\x^{-1}&\ln |x|+c\\e^{x}&e^{x}+c\\\cos x&\sin x+c\\\sin x&-\cos x+c\\\sec ^{2}x&\tan x+c\\\tan x\sec x&\sec x+c\\{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\arcsin x+c\\{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\arccos x+c\\{\frac {1}{1+x^{2}}}&\arctan x+c\end{matrix}}$

例題：基本微分公式帶入

1. $\int 10x^{4}-2\sec ^{2}xdx$
2. $\int {\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}d\theta$
3. $\int {\frac {1}{\sin t\cos t}}dt$
4. $\int {\frac {1}{\sin ^{3}t\cos t}}dt$
5. $\int x^{\frac {3}{5}}+x^{\pi }+x^{-{\frac {5}{2}}}dx$
6. $\int {\frac {e^{2x}-1}{e^{x}-1}}dx$

解：

積分技巧

積分沒有如微分的連鎖律，因此ㄅ

變數變換 the Substitution

• $\int \tan xdx{\text{, let u= }}\cos x,\ du=-\sin xdx$
• $\int 2x{\sqrt {1+x^{2}}}dx$
• $\int {\sqrt {1+2x}}dx$
• $\int {\frac {x}{\sqrt {1-4x^{2}}}}dx$
• 變數再變換：$\int {\frac {x^{3}}{(4x^{2}+9)^{\frac {3}{2}}}}dx$設分母為u。

分部積分

利用微分時的$d(fg)=fdg+gdf$可以得$\int fdg=fg-\int gdf$。

三角代換法

令 ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\doteq \sin x$，${\displaystyle }$

半角置換法

利用三角公式中的萬能(化tan)公式，

部分分式法

主條目：w:有理函數 § 部分分式

真有理分式可以化成部分分式再行積分。

• $\int {\frac {x^{3}+x}{x-1}}dx$：先將假分式換成真分式 (假分數化帶分數)。
• $\int {\frac {5x^{2}+20x+6}{x^{3}-x}}dx$