院系:李煌數學研究院/李煌勾股解

一

$x^{4}$, $y^{2}$, $z^{2}$	$x^{4}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $w^{2}$	$x^{4}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $w^{2}$, $v^{2}$	$x^{4}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $w^{2}$, $v^{2}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：	勾股方程x2+y2+z2=w2之李煌解：	勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：	勾股方程x4+y2+z2=w2+v2之李煌解：
${\begin{cases}x=a+{\sqrt {2b^{2}-a^{2}}}\\y=a-{\sqrt {2b^{2}-a^{2}}}\\z=2b\end{cases}}$	${\begin{cases}x=a^{2}\\y=2ab\\z=2b^{2}\\w=a^{2}+2b^{2}\end{cases}}$	${\begin{cases}x=a^{3}-4\\y=2a^{2}\\z=2a^{3}-2a-4\\w=a^{3}-2a-4\\v=2a^{3}-4\end{cases}}$	${\begin{cases}x=(3a^{2}+b^{2})b-1\\y=2(a+b)^{2}\\z=((3a^{2}+b^{2})b-1)^{2}-(a+b)^{3}+2(a+b)\\w=((3a^{2}+b^{2})b-1)^{2}+2(a+b)\\v=((3a^{2}+b^{2})b-1)^{2}-(a+b)^{3}\end{cases}}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：		勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：
${\begin{cases}x=a-{\sqrt {2b^{2}-a^{2}}}\\y=a+{\sqrt {2b^{2}-a^{2}}}\\z=2b\end{cases}}$		${\begin{cases}x=2a^{2}-1\\y=2a\\z=4a^{2}-2\\w=2a^{2}-2\\v=4a^{2}-1\end{cases}}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：		勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：
${\begin{cases}x=2a+2\\y=a^{2}+2a\\z=a^{2}+2a+2\end{cases}}$		${\begin{cases}x=a^{3}+b\\y=2a^{2}\\z=2(a^{3}-a)+b\\w=a^{3}-2a+b\\v=2a^{3}+b\end{cases}}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：		勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：
${\begin{cases}x=2a-2\\y=a^{2}-2a\\z=a^{2}-2a+2\end{cases}}$		${\begin{cases}x=a-b\\y=2b\\z=2(a+b)\\w=a+3b\\v=2a\end{cases}}$

二

• 不定方程${(3b^{2}+a)}x^{2}+y^{2}=z^{4}$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=\pm (8b^{3}+4ab)\\y=\pm (8b^{4}-a^{2})\\z=\pm (4b^{2}+a)\end{cases}}$

• 不定方程${(3b^{2}-a)}x^{2}+y^{2}=z^{4}$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=8b^{3}-4ab\\y=8b^{4}-a^{2}\\z=4b^{2}-a\end{cases}}$

• 不定方程${(2a+4b^{2})}x^{2}+y^{2}=z^{2}$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=\pm 2b\\y=\pm a\\z=\pm {(a+4b^{2})}\end{cases}}$

• 不定方程${(a+b^{2})}x^{2}+y^{2}=z^{2}$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=\pm 2b\\y=\pm a\\z=\pm {(a+2b^{2})}\end{cases}}$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌
• http://www.mftp.info/20140201/1391475278x1873697544.jpg
• http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

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