院系:李煌数学研究院/椭圆曲线之研究

一

• 不定方程$y^{2}=x^{3}+k$之李煌解:

${\begin{cases}x=2a^{2}+2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {k}}}}\\y={ax}+{\frac {x^{2}}{4a}}\\a={\frac {y+{\sqrt {k}}}{2x}}\end{cases}}$ 或 ${\begin{cases}x=2a^{2}-2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {k}}}}\\y={ax}+{\frac {x^{2}}{4a}}\\a={\frac {y+{\sqrt {k}}}{2x}}\end{cases}}$

推论：

二

存在无限多 无理数a, 使得$x=2a^{2}-2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {3}}}}$之x为有理数

例如： $x=1,a={\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}$

例如： $x=2,a={\frac {{\sqrt {11}}+{\sqrt {3}}}{4}}$

存在无限多 无理数a, 使得$x=2a^{2}+2{\sqrt {a^{4}-a{\sqrt {3}}}}$之x为有理数

例如： $x=3,a={\frac {{\sqrt {30}}+{\sqrt {3}}}{6}}$

例如： $x=4,a={\frac {{\sqrt {67}}+{\sqrt {3}}}{6}}$

三

李煌椭圆曲线：$y^{2}=x^{3}+x^{2}-x-1$

存在 $y=(4a)(2a^{2}+1),\forall a\in \mathbb {Z}$李煌形式的无穷多整数解

存在 $y=a(a^{2}+2),\forall a\in \mathbb {Z}$李煌形式的无穷多整数解

不存在其它形式的整数解

例如：$a=13,y=(4a)(2a^{2}+1)=17628$

李煌椭圆曲线：$y^{2}=x^{3}+x^{2}-x-1$存在整数解(677,17628)

例如：$a=14,y=(4a)(2a^{2}+1)=22008$

李煌椭圆曲线：$y^{2}=x^{3}+x^{2}-x-1$存在整数解(785,22008)

四

若椭圆曲线(Legendre Normal Form)：$y^{2}=x\left(x-1\right)\left(x-\lambda \right)$存在解(m,n)，

可以等价变换为两条李煌椭圆曲线

• 椭圆曲线(LH Curve)：$Y^{2}=X^{3}+{(1-\lambda -m)}X^{2}-{X}+(m+\lambda -1)$
• 椭圆曲线(LH Curve)：$Y^{2}=X^{3}+{(\lambda -1-m)}X^{2}-\lambda ^{2}{X}+\lambda ^{2}(m+1-\lambda )$

五

椭圆型未定方程：

• $x^{3}=y^{2}+54\,$仅有两组整数解$(7,\pm 17)\,$

参考文献

http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

来源

• 《南昌理工学院学报》.李煌

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