极限

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极限

数列的极限

若数列 $A_{n}$ 有上界L，且 $a_{n+1}>A_{n}$ ，则数列$A_{n}$ 的极限 $M\leq L$ ，意即若 $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=M$ ，则 M 的值不大于L

数列有界性的定义

若$\exists A\in R$使得数列{$\left.x_{n}\right.$}恒满足$x_{n}\geq A$，则称数列{$\left.x_{n}\right.$}有下界；若$\exists B\in R$使得数列{$\left.x_{n}\right.$}恒满足$x_{n}\leq B$，则称数列{$\left.x_{n}\right.$}有上界；若$\exists A\in R$且$\exists B\in R$使得数列{$\left.x_{n}\right.$}恒满足$B\geq x_{n}\geq A$，则称数列{$\left.x_{n}\right.$}有界。

数列极限的定义

设{$\left.x_{n}\right.$}是一组数列，$y\in \mathbf {R}$为常数，且$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，若$\exists K\in \mathbf {Z^{+}}$，当 $\left.n>K\right.$ 时，下面不等式：

$\left|x_{n}-y\right|<\varepsilon$

恒成立，则称数列{$\left.x_{n}\right.$}的极限存在，并称常数$\left.y\right.$为数列{$\left.x_{n}\right.$}的极限，通常记作：

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=y$

此时也称{$\left.x_{n}\right.$}是一个收敛的数列。

性质

唯一性

若数列{$\left.x_{n}\right.$}收敛，则{$\left.x_{n}\right.$}的极限值是唯一的。

有界性

若数列{$\left.x_{n}\right.$}收敛，则{$\left.x_{n}\right.$}是有界数列。

保序性

若数列{$\left.x_{n}\right.$}与{$\left.y_{n}\right.$}都有极限。当$n\geq m$时恒有$x_{n}\geq y_{n}$，若$\lim _{n\to \infty }x=a$且$\lim _{n\to \infty }y=b$，则必有$a\geq b$。

斯铎兹（Otto-Stolz）法则

法则一

设$\lim _{n\to \infty }x_{n}=0$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=0$，且数列{$\left.x_{n}\right.$}单调递减。则当极限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}$存在时，极限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$存在，且$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$；当$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}\to +\infty$时，有$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty$。

法则二

设$\lim _{n\to \infty }y_{n}\to +\infty$，数列{$\left.y_{n}\right.$}单调递增，则当极限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}$存在时，极限$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$存在，且$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$；当$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\to +\infty$时，有$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty$。

函数的极限

一个函数$f(x)$，若当$x\rightarrow c$时，$f(x)\rightarrow L$，意即当$x$在$f(x)$上越来越趋近$c$时，$f(x)$的值越来越趋近$L$，一般记做$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$

函数极限的定义

自变量趋于常数的极限

设函数$\left.f(x)\right.$在$a\in \mathbf {R}$的某个去心邻域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$内有定义。若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$，总有$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，$A\in \mathbf {R}$使得当$\left.x\right.$满足$\left|x-a\right|<\delta$时，必有：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

则称函数$\left.f(x)\right.$趋于常数$\left.a\right.$的极限是$\left.A\right.$，通常记作：

$\lim _{x\to a}f(x)=A$

自变量趋于无穷的极限

1. 对于函数$\left.f(x)\right.$，若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$且$\exists A\in \mathbf {R}$，总$\exists X\in \mathbf {R^{+}}$，当$\left.x>X\right.$时必然满足：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

则称函数$\left.f(x)\right.$趋于正无穷大的极限是$\left.A\right.$，通常记作：

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A$

2. 对于函数$\left.f(x)\right.$，若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$且$\exists A\in \mathbf {R}$，总$\exists X\in \mathbf {R^{-}}$，当$\left.x<X\right.$时必然满足：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

则称函数$\left.f(x)\right.$趋于负无穷大的极限是$\left.A\right.$，通常记作：

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A$

3. 对于函数$\left.f(x)\right.$，若$\forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}}$且$\exists A\in \mathbf {R}$，总$\exists X\in \mathbf {R}$，当$x>\left|X\right|$时必然满足：

$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

则称函数$\left.f(x)\right.$趋于无穷大的极限是$\left.A\right.$，通常记作：

$\lim _{x\to \infty }f(x)=A$

性质

唯一性

若函数$\left.f(x)\right.$存在极限，则极限值唯一。

局部保序性

1. 设$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a$，$\lim _{x\to x_{0}}g(x)=b$，若$\exists \delta \in \mathbf {R^{+}}$，当$\left|x-x_{0}\right|<\delta$时，都有$f(x)\leq g(x)$，则$\left.a\leq b\right.$。

2. 设$\lim _{x\to +\infty }f(x)=a$，$\lim _{x\to +\infty }g(x)=b$，若$\exists X\in \mathbf {R^{+}}$，当$\left.x>X\right.$时，都有$f(x)\leq g(x)$，则$\left.a\leq b\right.$。

3. 设$\lim _{x\to -\infty }f(x)=a$，$\lim _{x\to -\infty }g(x)=b$，若$\exists X\in \mathbf {R^{-}}$，当$\left.x<X\right.$时， 都有$f(x)\leq g(x)$，则$\left.a\leq b\right.$。

保号性（也称正负不变性）

若$\lim _{x\to a}f(x)=A$且$\left.A\not =0\right.$，则在$a\in \mathbf {R}$的某个去心邻域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$内存在一个区间$\left.U_{o}\right.$满足当$x\in U_{o}$时，$\left.f(x)\right.$的值的正负性与$\left.A\right.$保持一致。

海涅（Heine–Cantor）定理

设函数$\left.f(x)\right.$在$a\in \mathbf {R}$的某个去心邻域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$内有定义，则：

$\lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(w_{n})=A$

其中数列{$\left.w_{n}\right.$}是$a\in \mathbf {R}$的某个去心邻域$(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )$内任意一个收敛于$\left.a\right.$的数列，且$w_{n}\not =a$。

洛必达法则 (l'Hôpital's rule)

若函数 $\left.f(x)\right.$ 与 $\left.g(x)\right.$ 在 $a$ 的一个去心邻域内可导且 $g'(x)\not =0$，$\lim _{x\to a}f(x)$ 与 $\lim _{x\to a}f(x)$ 的值同时等于0或同时趋于无穷，并且 $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ 存在或趋于无穷，则：

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$

几个常用的极限

1. 设函数$f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$其中$x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，则有$\lim _{x\to 0}f(x)=1$。

2. 设数列{$\left.x_{n}\right.$}恒满足$x_{n}=(1+{\frac {1}{n}})^{n}$，则有$\lim _{n\to \infty }x_{n}=e$，其中$\left.e\right.$是自然对数的底数，$e\approx 2.712818\cdots$。

3. 设函数$f(x)=(1+{\frac {1}{x}})^{x}$其中$x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，则有$\lim _{x\to \infty }f(x)=e$。

4. 设函数$f(x)=(1-{\frac {1}{x}})^{x}$其中$x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，则有$\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {1}{e}}$。

无穷的阶

无穷大与无穷小的概念

1. 无穷小：通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大：若函数$\left.f(x)\right.$在$x\to x_{0}$（或$x\to \infty$）时，$\left|f(x)\right|$的值无穷增大，则称函数$\left.f(x)\right.$在$x\to x_{0}$（或$x\to \infty$）时为无穷大。通常记作：

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty$（或者$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$）。

高阶、低阶与同阶

为了方便下面的讨论，现在将$\lim _{x\to \infty }$与$\lim _{x\to c}$（其中$c\in \mathbf {R}$），用符号$\lim _{}$来统一表示。

无穷小的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷小：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在极限附近处满足$\left.g(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的高阶无穷小。通常记作：

$\left.f(x)=o(g(x))\right.$（$x\to x_{0}$或者$x\to \infty$）

2.低阶无穷小：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.f(x)\right.$在极限附近处满足$\left.f(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0$时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的低阶无穷小。

3.同阶无穷小：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在极限附近处满足$\left.g(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$（其中$c\in \mathbf {R}$）时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的同阶无穷小。

4.阶数：若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在极限附近处满足$\left.g(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c$（其中$c,m\in \mathbf {R}$）时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的$\left.m\right.$阶无穷小，$\left.m\right.$是无穷小的阶数。

无穷大的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷大：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.f(x)\right.$在极限附近处必须满足$\left.f(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0$时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的高阶无穷大。

2.低阶无穷大：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.f(x)\right.$在极限附近处必须满足$\left.f(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的低阶无穷大。

3.同阶无穷大：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.g(x)\right.$在极限附近处必须满足$\left.g(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c$（其中$c\in \mathbf {R}$）时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的同阶无穷大。

4.阶数：若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.g(x)\right.$在极限附近处必须满足$\left.g(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c$（其中$c,m\in \mathbf {R}$）时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的$\left.m\right.$阶无穷大，$\left.m\right.$是无穷大的阶数。

等价无穷

等价无穷大

若$\lim _{}f(x)=\infty$且$\lim _{}g(x)=\infty$（$\left.f(x)\right.$在极限附近处必须满足$\left.f(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=1$时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的等价无穷大。

等价无穷小

若$\lim _{}f(x)=0$且$\lim _{}g(x)=0$（$\left.g(x)\right.$在极限附近处必须满足$\left.g(x)\not =0\right.$），当$\lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$时，称$\left.f(x)\right.$是$\left.g(x)\right.$的等价无穷小。

极限与连续

参见函数的连续性

习题

1. 设数列$a_{n}$等于$(-1)^{n}+1$，问此数列的极限是否存在？
2. 求以下数列的极限，（下式中$n$是正整数）

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log _{a}n}{n}}=$?