拓扑空间

在引论中，我们使用了欧氏几何的定理来阐述拓扑学的大体概念，然而拓扑学不仅仅研究存在于欧氏几何中的形体，因此在这一讲中，我们将会介绍拓扑空间的一些知识。

概述

假设有一个非空集合X，它的幂集是2^x，即为X所有子集的集合。这个幂集的子集则称之为X的子集族。

若我们称X的一个子集族τ为X的一个拓扑，并规定它满足以下几个条件：X本身和空集 $\varnothing$ 都被τ所包含；τ的任意成员的并集被τ所包含；τ中有限多的成员的交集被τ所包含。这样的情况下，我们就可以把X和其拓扑τ称拓扑空间，写作(X,τ)，τ便为此空间的开集。在此条件下我们可以看出，给出X的拓扑即为规定X的子集中的开集。

由于一个集合可以规定多个拓扑，称呼一个拓扑空间不但需要指出集合，并且要指出是此集合的哪一个拓扑。上述的例子中，2^x构成了X的拓扑，我们可以称之为X的离散拓扑；同时X规定了{X, $\varnothing$ }也是其拓扑，可以称之为X的平凡拓扑。

接下去再看看一些常见的拓扑：

设有无穷集合X以及其有限子集A，τ_ƒ={A^c} $\cup$ { $\varnothing$ }，这个条件下τ_ƒ就是X的余有限拓扑。
设有不可数无穷集合X以及其可数子集A，τ_c={A^c} $\cup$ { $\varnothing$ }，这个条件下τ_c就是X的余可数拓扑。
如果我们有实数的集合R以及数个开区间的并集U，并规定τ_e={U}，那么当 $\varnothing$ ∈τ_e，τ_e就是R上的一个拓扑，我们可以称之为R的欧式拓扑，其拓扑空间为E¹=(R,τ_e)。

度量拓扑

在拓扑空间中，当我们为集合X定义了一个度量，那么就可以称之为度量空间。设我们规定了一个度量d，此度量空间即为(X,d)。度量d是X的一个映射，我们这里先写作d:X·X→R，它需要满足下列条件：

d(x,y)=0, ∀x∈X；当x≠y，d(x,y)>0
d(x,y)=d(y,x)，∀x,y∈X
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)，∀x,y∈X

设Rⁿ={(x₁,x₂,···,x_n)|x∈R,i=1,2,···,n}，那么我们规定其度量d为：d((x₁,x₂,···,x_n),(y₁,y₂,···,y_n)) = ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i},y_{i})^{2}}}$ 我们可以看出这一度量满足上述条件，是Rⁿ的映射。如此以来就可以将这个度量空间记作：Eⁿ=(Rⁿ,d)，即n维欧氏空间。

拓扑公理

在上面我们曾说过τ为X的拓扑需要满足的条件，这几个条件我们称之为拓扑公理：

）X和空集 $\varnothing$ 都被τ所包含。
）τ中任意多个成员的并集也被τ所包含。
）τ中有限多个成员的交集也被τ所包含。

接下来我们利用度量拓扑简单体现一下三种公理的应用。设有度量空间(X,d)，为规定X的拓扑，设有x₀∈X，并有正数ε。那么X的子集就可以写作：

B(x₀,ε) := {x∈X|d(x₀,x)<ε}

利用图形来表示，则可以说此为x₀为圆心、ε为半径的球形领域。

闭集

在之前说欧式空间、度量空间是都曾提到过闭集的概念，我们现在假设有拓扑空间 $X$ 中有子集 $A$ 为闭集，那么 $A^{c}$ 就是开集。在这个语境中，我们可以看到闭集就是一个开集的余集，反之亦然。而分析其他的情况，例如我们可以看到离散拓扑空间中任何子集都是开集，因而任何子集也是闭集。在看如果我们有平凡拓扑空间X，那么其中就有两个闭集 $X=\varnothing ^{c}$ 和 $\varnothing =X^{c}$ 。如此一来，在 $(R,\tau _{f})$ 中，闭集可以是有限集或者就是X；在 $(R,\tau _{c})$ 中，闭集则可以是可数集或是X。