静态分岔

静态分岔

本章从确定性的非线性动力学方程组出发，先从最基础的单摆开始，简单介绍方程解的渐进行为。然后再看当控制参数发生变化时非线性系统的变化，即分岔理论的目的。我们这里先讲解静态分岔，突变理论与动态分岔在下一章节。

设有一个单摆，我们知道其运动方程为： ${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0$ （1.1）

那么，当 $\theta$ 的绝对值远小于1时，我们可以将方程1.1线性化为 ${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0$ （1.2）

通过振动力学的方式求解，得： $\theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})$ （1.3）

设我们将初始的摆角扩大n倍，那么我们就有角 $\theta '_{0}=n\theta _{0}$ ，并有方程： $\theta '(t)=n\theta _{0}\sin(\omega t+\varphi _{0})$ （1.4）

上述解的基础都限于当 $sin\theta \approx \theta$ 时，即 $\theta$ 趋于零时的情况，那么当其数值并不小的时候，我们如何去求解？

首先，我们已经知道单摆运动的角度不得超过5度，当大于5度时，我们首先可以确立两个条件：

自然而然的，我们就可以试图去求其精确解，可得谐振动方程如下：

${\dot {\theta }}=\omega$
${\dot {\omega }}=-\omega _{0}^{2}sin\theta$ （1.5）

而单摆的振动周期就可以明确为： $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ （1.6）

我们将由位形变量和速度变量构成的空间称为状态空间，并可以用空间相图来展示系统的性态（有兴趣的可以自己试试，有利于理解相关概念）。

对方程1.5变形可得： ${\frac {d\omega }{d\theta }}=-{\frac {\omega _{0}^{2}sin\theta }{\omega }}$ （1.7）

为了解出方程1.7，我们需要关注其中一个变量 $sin\theta$ 。

使用积分求出含有第一类椭圆积分的单摆周期公式，由机械能守恒定律可得方程式如下：

${\frac {1}{2}}mL^{2}\theta ^{2}+mgL(1-cos\theta )=mgL(1-cos\theta _{0})$ （1.8）

那么通过如上公式，我们就可以判断角移 $\theta ={\sqrt {{\frac {2g}{L}}(cos\theta -cos\theta _{0})}}$ （1.9）

展开方程1.9，我们就会得到利用椭圆积分计算表示的单摆周期运动，将此展开后截取最早的两项，就可以得到新的运动方程：

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}})=0$ （1.10）

再对方程1.8简写，就可以看到一个新的方程如下：

$H={\frac {1}{2}}\omega ^{2}+\omega ^{2}(1-cos\theta )$

$2H={\dot {\theta }}^{2}+4\omega _{0}^{2}sin^{2}{\frac {\theta }{2}}$ （1.11）

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