2000年前的古希腊数学家埃拉特斯特尼创造了一种筛法,可以求得给定一个自然数以内的所有素数,只要在2—n内筛去不大于的素数的倍数,剩下的就是素数。

素数的埃拉特斯特尼筛法公式

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若自然数n不能被不大于任何素数整除,则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示:  
   
  (1)  
   
  其中 表示顺序素数2,3,5,....。≠0。

  若,则n是一个素数。  
   
  我们可以把(1)式内容等价转换同余式组表示  :
  (2)  
   
  由于(2)的模,,..., 两两互素, 
  根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的,,...,,(2)式在...范围内有唯一解。 




  范例  
   
  k=1时,,解得n=3,5,7。求得了(3,)区间的全部素数。  
   
  k=2时,,解得n=7,13,19; 

解得n=5,11,17,23。

  求得了(5,)区间的全部素数。  
k=3时
31 7,37 13,43 19
11,41 17,47 23 29
  |}求得了(7,)区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的,,...,,(1)和(2)式在...范围内,

有()()()...() 个解。

参见《素数之恋》第100页德比希尔著。

 

  。(5)

在等号两边乘以 ,由幂运算规则得到。

 。(6)

   我们从第(6)式子减去第二个式子,在左边我有一个 . 
		

又有它的 ,做减法得:

  。(7)

 这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。 
		

  现在我们在等号两边乘以 ,而3是右边第一个还没有去掉的数:

   。(8)

     我们再做减法得: 
		

 )(  。(9)

    3的所有倍数都从那个无穷和中消失了,右边还有第一个没有被去掉的数是5,如果我们两边都乘以 ,结果是:

  )(  。(10)

从前面那个式子减去这个式子得:

 )( )(  。(11)

  我们继续下去,对于大于1的任意s,左边对每一个带括号的表达式,并向右边一直继续下去,对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号,我们得到:

  = 。(12)

(5)=(12) 说明黎曼猜想不是凭空产生的,而是来源与埃拉特斯特尼筛法。


参见

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参考文献

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  1. 参见《素数之恋》第100页德比希尔著
  2. 《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期--吴振奎教授
  3. 《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2001年4期--陈志云教授
  4. 《从台尔曼公式谈起》【中等数学】2002年5期--王晓明教授。