素数公式
2000年前的古希腊数学家埃拉特斯特尼创造了一种筛法,可以求得给定一个自然数以内的所有素数,只要在2—n内筛去不大于的素数的倍数,剩下的就是素数。
素数的埃拉特斯特尼筛法公式 编辑
若自然数n不能被不大于任何素数整除,则n是一个素数。 可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示: (1) 其中 表示顺序素数2,3,5,....。≠0。 若,则n是一个素数。 我们可以把(1)式内容等价转换同余式组表示 : (2) 由于(2)的模,,..., 两两互素, 根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的,,...,,(2)式在...范围内有唯一解。
范例 k=1时,,解得n=3,5,7。求得了(3,)区间的全部素数。 k=2时,,解得n=7,13,19; ,
解得n=5,11,17,23。
求得了(5,)区间的全部素数。
k=3时 | ||||
---|---|---|---|---|
31 | 7,37 | 13,43 | 19 | |
11,41 | 17,47 | 23 | 29 |
|}求得了(7,)区间的全部素数。 仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 对于所有可能的,,...,,(1)和(2)式在...范围内,
有()()()...() 个解。
黎曼猜想的素数公式与埃拉托斯特尼筛法关系 编辑
参见《素数之恋》第100页德比希尔著。
- 。(5)
在等号两边乘以 ,由幂运算规则得到。
。(6)
我们从第(6)式子减去第二个式子,在左边我有一个 .
又有它的 ,做减法得:
( ) 。(7)
这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。
现在我们在等号两边乘以 ,而3是右边第一个还没有去掉的数:
( ) 。(8)
我们再做减法得:
( )( ) 。(9)
3的所有倍数都从那个无穷和中消失了,右边还有第一个没有被去掉的数是5,如果我们两边都乘以 ,结果是:
( )( ) 。(10)
从前面那个式子减去这个式子得:
( )( )( ) 。(11)
我们继续下去,对于大于1的任意s,左边对每一个带括号的表达式,并向右边一直继续下去,对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号,我们得到:
- = 。(12)
(5)=(12) 说明黎曼猜想不是凭空产生的,而是来源与埃拉特斯特尼筛法。
参见 编辑
参考文献 编辑
- 参见《素数之恋》第100页德比希尔著
- 《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期--吴振奎教授
- 《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2001年4期--陈志云教授
- 《从台尔曼公式谈起》【中等数学】2002年5期--王晓明教授。