數學的各領域應用

數學主要的學科最先產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。 這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化（即算術、代數、幾何及分析）等數學上廣泛的子領域相關連著。

除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論（基礎）、至不同科學的經驗上的數學（應用數學）、及較近代的至不確定性的嚴格研究。

基礎與哲學

數學邏輯專注於將數學置在一堅固的公理架構上，並研究此一架構的結果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理所屬的領域，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明而又為真的定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論電腦科學有著密切的關連性，千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論電腦科學中的著名問題^[1]。

$P\Rightarrow Q\,$
數學邏輯	集合論	範疇論

纯粹数学

數量

數量的研究起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質於數論中有詳細的研究，此一理論包括了如費馬最後定理等著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生質數猜想及哥德巴赫猜想^[2]。

當數系更進一步發展時，整數被視為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。從自然數亦可以推廣到超限數，它形式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：阿列夫数，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
自然數	整數	有理數	實數	複數

結構

許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、域等抽象系統中，該些物件事實上也就是這樣的系統。此為代數的領域。在此有一個很重要的概念，即廣義化至向量空間的向量，它於線性代數中被研究。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。

创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。

布尔巴基学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）^[3]。


數論	群論	圖論	序理論

空間

空間的研究源自於幾何－尤其是欧几里得几何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何（其在廣義相對論中扮演著核心的角色）及拓撲學。

數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的微積分等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。

李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在已久的龐加萊猜想，以及有爭議的四色定理。龐加萊猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼證明^[4]，而四色定理已在1976年由凱尼斯·阿佩爾和沃夫岡·哈肯用電腦證明^[5]，而從來沒有由人力來驗證過。