數學之美

許多數學家從他們的工作及一般數學裡得出美學的喜悅。他們形容數學是美麗的來表示這種喜悅。有時，數學家會形容數學是一種藝術的形式，或至少是一個創造性的活動。通常與音樂和詩歌相比較。伯特蘭·羅素以下列文字形容他對數學之美的感覺：

曼德博集合的邊界

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty—a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.

保羅·埃爾德什形容他對數學不可言說的觀點，而說：「為何數是美麗的呢？這就像是在問貝多芬第九號交響曲為什麼會美麗一般。若你不知道為什麼，其他人也沒辦法告訴你為什麼。我知道數是美麗的。且若它們不是美麗的話，世上也沒有事物會是美麗的了。」

解法之美

數學家形容一特別愉悅的證明方法為優美的。依據其內容，這可能是指：

• 用了少量的額外假設或之前結論的證明。
• 極短的證明。
• 由意外的方式導出的證明（即由一表面上無關的定理或一群定理）。
• 基於新的及原本洞悉的證明。
• 可輕易推至相似問題之解題的證明方法。

為了尋找一個優美的證明，數學家常會尋求不同證明的方法，而第一個被找到的證明可能不是最好的。有著最多被找到的不同證明方法的定理可能為w:勾股定理，已有上百的證明被發表了出來。另一個被以許多不同方法證明出來的定理為二次互反律的定理－仅高斯一人便給出了此定理八種不同的證明。

相反地，若結論是邏輯上正確的，但包含有費工的計算、過度複雜的方法、極普通的處理方法或需依靠大量有力的公理或不被認為優美的之前結論，則稱此為醜陋的或笨拙的。這和w:奧卡姆剃刀的概念有關。

結論之美

數學家看數學結論的美於其在第一眼看似完全無關的兩個數學領域間建立著關連性。這種結論通常被形容為深奧的。

因為很難得到一結論是否為深奧的共識，某些例子便常被引用來說明。其中一個為歐拉恆等式e^iπ + 1 = 0，它被費曼稱為「數學內最著名的公式」。現代的例子則包含有建立起橢圓曲線與模形式之間關連性的谷山-志村定理（此結論使安德魯·懷爾斯和羅伯特·郎蘭茲得到了沃爾夫獎），和以弦理論接連了怪獸群與模函數的怪獸月光（理查·波傑蒂斯因此得到了菲爾茲獎）。

和深奧的相對的為當然的。一當然的定理會是個可以由一已知結論經一明顯及簡單的方法導出的結論，或者是只應用在如空集合等特定集合的結論。但有時一定理的敘述亦可因夠原始而被認為是深奧的，即使其證明是很簡易的。

體驗之美

些許對於操縱數字和符號的喜好是從事任何數學相關的必須要件。在科學及工程內的數學工具，似乎都會在其技術社會裡主動地培育出美學來，尤其是在其自身的科學哲學裡。

對於大多數的數學家而言，數學之美最強烈的體驗來自於積極地從事數學研究。以純粹被動的方式是很難享受及欣賞數學的－在數學裡，是沒有觀眾及聽眾的。

伯特蘭·羅素指這是數學的樸素之美。

延伸閱讀

• 數學之美
• 數學形成、純數學與應用數學及美學
• 數學符號、語言與精确性
• 數學作為科學的定義與認知
• 數學的各領域應用

---