拉普拉斯矢量场

本研究的主题是拉普拉斯矢量场。

在矢量微积分中，拉普拉斯矢量场属于矢量场，既保守向量场又不可壓縮流。如果该矢量场表示为 v，则由以下微分方程描述：

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {v} &=\mathbf {0} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\end{aligned}}$

从向量恆等式列表 $\nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )$ 它遵循

$\nabla ^{2}\mathbf {v} =0$

也就是说，v 满足了拉普拉斯方程。

平面中的拉普拉斯矢量场满足柯西－黎曼方程：它是全形 (數學)的。

由于 v 的旋度为零，因此（当定义域简单连接时）v 可以表示为标量势的梯度（参见保守向量场）φ：

$\mathbf {v} =\nabla \phi \qquad \qquad (1)$

然后，由于 v 的散度也为零，因此从等式（1）得出

$\nabla \cdot \nabla \phi =0$

这相当于

$\nabla ^{2}\phi =0$

因此，拉普拉斯矢量场的势满足拉普拉斯方程。