院系:李煌數學研究院/費馬n次方程之研究

一

• 不定方程$x^{n}+y^{2}=z^{2}$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=2b\\y=\pm ((2b)^{n-2}-b^{2})\\z=\pm ((2b)^{n-2}+b^{2})\end{cases}}$

二

• 不定方程$x^{n}+y^{3}=z^{3}$之全体解爲李煌解:

${\begin{cases}x=3b\\y={\frac {-9b^{3}+{\sqrt {4(3b)^{n-3}-27b^{6}}}}{2}}\\z={\frac {9b^{3}+{\sqrt {4(3b)^{n-3}-27b^{6}}}}{2}}\end{cases}}$

${\begin{cases}x=b\\y={\frac {-3b^{3}+{\sqrt {12b^{n-3}-3b^{6}}}}{6}}\\z={\frac {3b^{3}+{\sqrt {12b^{n-3}-3b^{6}}}}{6}}\end{cases}}$

三

• 不定方程${(a^{2}+27b^{6}-9ab^{3})}x^{3}+y^{3}=z^{3}$存在整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=3b\\y=a-9b^{3}\\z=a\end{cases}}$

四

• 不定方程$x^{3}+y^{3}=z^{3}$等價于:

不等方程$(z-y)^{3}+3y(z-y)^{2}+3y^{2}(z-y)=x^{3}$

不等方程$(z-x)^{3}+3x(z-x)^{2}+3x^{2}(z-x)=y^{3}$

五

• 不定方程${(10^{5}b^{20}+10^{4}b^{10}-50000b^{15}+50-1000b^{5})}x^{5}+y^{5}=z^{5}$存在整數解,之解爲李煌解:

${\begin{cases}x=ab\\y=a-10ab^{5}\\z=a\end{cases}}$

六

• 形如$2a^{2}-2ab+b^{2},\forall a,b\in \mathbb {Z}$之整數一定能表示為兩平方數之和，且該形式是整數能表為兩平方數之和之充要條件.
• 形如$2(a^{2}+2b^{2}-2ab),\forall a,b\in \mathbb {Z}$之偶數一定能表示為兩平方數之和，且該形式是偶數能表為兩平方數之和之充要條件.

参考文献

http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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