拓扑和的泛性的稍强形式

本文介绍比拓扑和的泛性稍强一点的结果，它是教材的一个习题。

绪论

两个拓扑空间$X_{1}$、$X_{2}$的拓扑和由一个拓扑空间$X$和两个连续函数$i_{1}\colon X_{1}\to X$、$i_{2}\colon X_{2}\to X$组成，且满足以下泛性。

• 对任意拓扑空间$Y$及连续函数$f_{1}\colon X_{1}\to Y$、$f_{2}\colon X_{2}\to Y$，存在唯一连续函数$f\colon X\to Y$使得$fi_{1}=f_{1}$且$fi_{2}=f_{2}$，也就是说使下列图表交换。

  ${\begin{matrix}X&\xleftarrow {i_{2}} &X_{2}\\{\scriptstyle i_{1}}\uparrow &\searrow {\scriptstyle f}&\downarrow {\scriptstyle f_{2}}\\X_{1}&{\xrightarrow[{f_{1}}]{}}&Y\end{matrix}}$

两个拓扑空间的拓扑总是存在，且在同胚意义下唯一。故可将拓扑和记为$X_{1}\sqcup X_{2}$。因为包含函数$i_{1}$、$i_{2}$都是嵌入，可以将$i_{1}(X_{1})$、$i_{2}(X_{2})$简单记成$X_{1}$、$X_{2}$。此时拓扑和$X_{1}\sqcup X_{2}$作为集合是$X_{1}$和$X_{2}$的不交并，子集$U\subset X_{1}\sqcup X_{2}$是开集当且仅当$U\cap X_{1}$是$X_{1}$的开集且$U\cap X_{2}$是$X_{2}$的开集。

一个拓扑空间是给定两个子集的拓扑和的充分必要条件可以如下描述。

定理1：设$X$是拓扑空间，$X_{1},X_{2}\subset X$是两个子集。记$i_{1}\colon X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}$、$i_{2}\colon X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}$、$j_{1}\colon X_{1}\to X$、$j_{2}\colon X_{2}\to X$都是包含函数。那么以下两个条件等价。

• (a) $X=X_{1}\sqcup X_{2}$，也就是说，由$fi_{1}=j_{1}$、$fi_{2}=j_{2}$确定的唯一的函数$f\colon X_{1}\sqcup X_{2}\to X$是同胚。
• (b) $X=X_{1}\cup X_{2}$，且$X_{1}\cap X_{2}=\varnothing$，且$X_{1}$、$X_{2}$都是$X$的开集。

证明：(a) ⇒ (b)：$X_{1}$是$X_{1}$的开集，且$\varnothing$是$X_{2}$的开集，故$X_{1}$是$X_{1}\sqcup X_{2}$的开集，同样$X_{2}$也是开集。(b) ⇒ (a)：设$U_{1}$是$X_{1}$的开集，且$U_{2}$是 $X_{2}$的开集。那么因为$X_{1}$、$X_{2}$是$X$开集，所以$U_{1}$、$U_{2}$是$X$的开集。因此$U_{1}\cup U_{2}$是$X$的开集。

主要结果

设$f\colon X_{1}\sqcup X_{2}\to Y$是从两个拓扑空间$X_{1}$、$X_{2}$的拓扑和到拓扑空间$Y$的函数。由拓扑和的泛性，只要$f\upharpoonright X_{1}\colon X_{1}\to Y$、$f\upharpoonright X_{2}\colon X_{2}\to Y$都是连续函数，那么$f$也是连续函数。而这是下面定理的特殊情形。

定理2：设$X$是拓扑空间，$X_{1},X_{2}\subset X$是两个子集，且它们满足$X=X_{1}\cup X_{2}$、$X\setminus (X_{1}\cap X_{2})=X_{1}\setminus X_{2}\sqcup X_{2}\setminus X_{1}$。设$Y$是拓扑空间，$f\colon X\to Y$是函数。如果$f\upharpoonright X_{1}$、$f\upharpoonright X_{2}$都是连续函数，那么$f$也是连续函数。

主要结果的证明

引理1：设$X$、$Y$是拓扑空间，$x\in X$，$f\colon X\to Y$，且设$A\in {\mathcal {N}}(x)$是$x$的一个邻域。如果$f\upharpoonright A$在$x$处连续，那么$f$在$x$处连续。

证明：对任意邻域$U\in {\mathcal {N}}(f(x))$，$f^{-1}(U)\cap A$是$x$在$A$中的邻域。故存在$N\in {\mathcal {N}}(x)$使得$f^{-1}(U)\cap A=N\cap A$。因为$A\in {\mathcal {N}}(x)$，有$f^{-1}(U)\cap A\in {\mathcal {N}}(x)$，从而有$f^{-1}(U)\in {\mathcal {N}}(x)$。

定理2的证明：只需证明对任意$x\in X$，$f$在$x$处连续。如果$x\in \operatorname {int} X_{1}$或者$x\in \operatorname {int} X_{2}$，由引理1$f$在$x$处连续。如果$x\not \in \operatorname {int} X_{1}$且$x\not \in \operatorname {int} X_{2}$，下面证明$x\in X_{1}\cap X_{2}$。假设不然，不妨设$x\in X_{1}\setminus X_{2}$。由定理1，$X_{1}\setminus X_{2}$是$X\setminus (X_{1}\cap X_{2})$的开集，故存在开集$V\subset X$使得$X_{1}\setminus X_{2}=V\setminus (X_{1}\cap X_{2})$。此时有$x\in V\subset X_{1}$，这与$x\not \in \operatorname {int} X_{1}$矛盾。

现在设$U\in {\mathcal {N}}(f(x))$是$f(x)$的任意邻域。因为$f\upharpoonright X_{1}$、$f\upharpoonright X_{2}$都在$x$处连续，存在$M,N\in {\mathcal {N}}(x)$使得$f(M\cap X_{1})\subset U$、$f(N\cap X_{2})\subset U$。此时有$M\cap N\in {\mathcal {N}}(x)$，且$f(M\cap N)\subset U$。因此$f$在$x$处连续。