函数与映射

 高等数学I 函数与映射

映射

假设我们有X、Y两个非空集合，X中的每个元素为x，Y中的每个元素为y。每一个x可以和Y中的一个确定的y对应，而它们之间的关系则用ƒ来指代。那么我们就可以称ƒ是X到Y的映射，并将其写为ƒ:X→Y。当我们想要用x来表达y时，就可以用ƒ(x)来表示，代表y=ƒ(x)。这个情况下，y就是x的像，x就是y的原像。

含有x的集合X，即为ƒ的定义域(Domain)，我们可以记作D_ƒ；所有x所对应的ƒ(x)所集成的集合，即为ƒ的值域(Range)，我们可以记作R_ƒ。于是，我们可以这么表达映射ƒ的值域R_ƒ：R_ƒ=ƒ(X)={ ƒ(x) | x $\in$ X}

我们已知ƒ是X到Y的映射，那么当Y=R_ƒ并且任意y都是X中一个x的像的时候，ƒ就可以称为X到Y的满射；如果X中任意两个元素x₁和x₂不等并且ƒ(x₁)≠ƒ(x₂)，ƒ就可以称为X到Y的单射。若ƒ既是满射又是单射，则ƒ可以称为双射。

上述所说的映射又可称为算子，而不同情况下的映射有不同的专用名词，从非空集X到数集Y的映射可称为泛函，从非空集X到X自己的映射可称为变换，本章节将会说的函数也是其中一种，指代从实数集X到实数集Y的映射。

复合映射

我们先设有X到Y的单射ƒ，那么每一个y∈R_ƒ，都对应了一个x∈X，即ƒ(x)=y。在此基础上，我们将R_ƒ到X的映射称为g，可写作：g:R_ƒ→X。于是每一个y∈R_ƒ有x=g(y)，这样一来我们就可以把算子g称为ƒ的逆映射，并可记作ƒ^-1。你可能对文字的叙述不太清楚，那么下一个例子将会说明逆映射与映射之关系。

假设有映射ƒ:[-π/2,π/2]→[-1,1]，则ƒ(x)=sin x，D_ƒ=[-π/2,π/2]，R_ƒ=[-1,1]

那么ƒ就有逆映射ƒ^-1(x)=arcsin x，D_ƒ=[-1,1]，R_ƒ=[-π/2,π/2]

我们再设有X到Y₁的映射g以及从Y₂到Z的映射ƒ，如果Y₁⊂Y₂，那么我们可以通过结合g和ƒ来利用X直接映射到Z。准确的来说，就是每个x∈X映射为ƒ(g(x))∈Z。如此一来，我们就可以称这个映射为一个复合映射，并写为ƒ·g: X→Z，(ƒ·g)(x)=ƒ(g(x))，x∈X。

这里需要注意一个点，那就是ƒ·g并不能写为g·ƒ，由于R_g⊂D_ƒ，如果两个映射的顺序颠倒，则复合映射ƒ·g无法成立，反过来说g·ƒ也是同理。

函数

我们设有自变量x，因变量y，并定义X的定义域为R，则函数的表达可以记作：y=ƒ(x), x$\in$R。

图1：为函数ƒ(x)的图形，我们可以用坐标(x,y)来表示其中的任意一点，而这个函数的值域如图所示为1至无穷大，可写为R_ƒ∈[1,∞)

在这个函数中，每一个ƒ定义域中的x总是有一个y是与其相对应的，这些y便会被称为ƒ在x处的函数值。当我们使用函数时，通常会遇到两种定义域。一种为上述几种例子中用到的R这样的代表实数范围的定义域，它们被称为自然定义域；另一种则是人为定义的定义域，顾名思义，假设我们有一个函数用来描述一个球在不同时间的空间位置，那么我们的定义域下限和上限就有了规定，这样的定义域区间代表了它需要依靠函数的背景情况来确定。

函数的表达

相信已经在中学的数学教程中已经熟知了表达函数的方法：图形、表格、解析。我们这里再基于高等数学的基础重新解释一遍。

图形法是最为鲜明的一种表达方式，可以理解为是将点集搬运到了平面坐标系上。设我们有一点集{P(x,y)|y=ƒ(x),x∈D}，这就是函数y=ƒ(x)的图形。

通过图形观察到的函数对于我们而言更容易理解，并且函数的几种特性也可以通过图形的分析展示出来。

首先我们来说一下函数的有界性。设ƒ(x)有定义域D，X⊂D，并且有一个数K₁大于等于ƒ(x)、另一个数K₂小于等于ƒ(x)。那么K₁就是ƒ(x)的上界，K₂就是其下界，在图例中，我们就可以看到y的下界为1。如果再设一个数M大于等于ƒ(x)的绝对值，那么我们可以称ƒ(x)在X上有界，M即为这个界。相反的如果无法规定M满足此条件，则ƒ(x)无界。

接下来说函数的单调性。设ƒ(x)有定义域D，有区间I⊂D。如果在此区间内取任意两点x₁、x₂，并且x₁<x₂，当ƒ(x₁)<ƒ(x₂)时，此函数可说是单调增加的；若ƒ(x₁)>ƒ(x₂)，则可说它是单调减少的。这两种函数可以统称为单调函数。

函数中还有一个重要的属性-奇偶性。首先看图2，它是一个非常基本的函数ƒ(x)=4x²的图形，而图3是ƒ(-x)的图形，我们可以看出两者明显一摸一样。那么为了表达这种规律，我们这时候就可以说对于任意x∈D，若是ƒ(x)=ƒ(-x)，则函数ƒ(x)就是一个偶函数。

图2

图3

同样的，当我们看下面两图，分别标注为-ƒ(x)和ƒ(-x)，但是两者的图形是一致的，为表达这种齐一性，我们这时候就可以说对于任意x∈D，若是-ƒ(x)=ƒ(-x)，则函数ƒ(x)就是一个奇函数。

图4

图5

总而言之，偶函数的图形关于y轴是对称的，而ƒ(x)=ƒ(-x)便是这一特征的函数表达，如果我们有点A坐标为(x,ƒ(x))，则其关于y对称的点A'必然在坐标(-x,ƒ(x))上，这两个点也都是函数ƒ(x)上的一点。奇函数的图形则是关于原点对称的，而-ƒ(x)=ƒ(-x)便是这一特征的函数表达，如果我们有点A在坐标(x,ƒ(x))上，那么关于原点对称的点A''必然在坐标(-x,-ƒ(x))上，这两个点也都是函数ƒ(x)上的一点。

需要注意的是，当我们判定三角函数时，例如y=sinx+cosx，这一函数既非奇函数，也非偶函数。

在知道了函数的奇偶性后，我们再来看另一种形式的函数-周期函数。设我们有函数ƒ(x)，其定义域为D，若有正数l可以使任意x∈D有(x$\pm$l)∈D，并且ƒ(x+l)=ƒ(x)。那么，我们就可以称ƒ(x)为周期函数，l就是ƒ(x)的周期，这个周期一般是其最小正周期。

常见的周期函数就有三角函数，如ƒ(x)=sinx或ƒ(x)=cosx。

当然周期函数在某些特定情况下没有最小正周期，最为典型的例子就是Dirichlet函数，在其中任何正有理数都是周期，而我们知道正有理数不存在最小，因此此函数的周期也无法成为最小正周期。

反函数

一般我们接触正函数，比如说有单射ƒ:X→ƒ(X)，那么当我们说逆映射的时候，就有ƒ^-1:ƒ(X)→X，ƒ^-1在此定义下就是ƒ的反函数。如此一来我们可以得知，对每个y∈ƒ(X)，有唯一的x∈X，并使ƒ(x)=y，可以写作：ƒ^-1(y)=x。